在经济、金融现象的动态性质研究中，对风险或者不稳定性的研究占有非常重要地位。离散时间的自回归条件异方差模型(Autoregressive Conditional Heteroskedasticity model,ARCH)是研究此类问题的有力工具。它在实际应用中发挥着重要作用，应用广义自回归条件异方差模型(Generalized ARCH,GARCH)易于对时间序列进行预报、估计及检验工作。而在理论研究中随机微分方程和连续时间的扩散过程占有重要地位，关于它们的理论研究结果已经非常丰富。另外，层上同调理论综合了各种来自于代数、拓扑与几何背景的同调类，是研究几何对象的有力工具。微分流形是一类重要的拓扑空间，具有良好的拓扑和几何性质，当把层上同调理论运用其上时，一定可以得到更好的结果。因此，本文主要研究GJR-GARCH模型的极限扩散过程和基于层论的拓展Mayer-Vietoris序列。　　在第一章，主要介绍了离散时间序列模型弱收敛理论和基于层论研究的背景，分析和总结了它们的研究现状，并给出本文研究的主要内容。　　在第二章，主要介绍了本文所需的的基础知识。包括了概率与测度，随机过程和代数拓扑课程中的基本定义和相关知识，从而为后续章节的理论研究和实际应用奠定了基础。　　在第三章，通过一个具体的离散时间GARCH模型——GJR-GARCH模型，研究了离散时间GJR-GARCH模型弱收敛到连续时间的扩散过程理论。这样在GARCH模型和扩散过程之间搭起了一个桥梁。当欲做估计、检验等工作时，可以把GARC H模型当做扩散过程的近似；另一方面，当把扩散过程当做GARCH模型的近似时，就可以将扩散过程丰富的理论结果应用于GARCH模型中。　　在第四章，研究了微分流形上的微分形式都是软层，对于微分流形的开覆盖，从层论观点和Cech-de Rham复形得到拓展Mayer-Vietoris序列和拓展Mayer-Vietoris定理。　　在第五章，对全文进行了总结，并提出了今后可以进一步研究的问题。