论文部分内容阅读
近年来,量子力学成为了最炙手可热的物理学理论之一,薛定谔方程是量子力学最基本的方程之一。而时间分数阶薛定谔方程作为其推广方程,被广泛用于描述许多现象,如量子物理学中自由粒子的非马尔可夫演化、量子力学的分数动力学、分数普朗克量子能量关系等。目前对于时间分数阶薛定谔方程数值解法的研究在数值精度、收敛性、理论分析等方面仍有较大的空间。本文采用时间分数阶高阶离散方法,结合指数收敛的Sinc方法求解一维和二维的时间分数阶薛定谔方程,并给出了相应的理论分析结果。具体工作如下:(1)建立时间分数阶薛定谔方程的一系列高阶时间半离散格式。首先,在二阶和三阶Weighted和Shifted的Grunwald-Letnikov(WSGL)差分算子基础上推导出四阶WSGL差分算子,并建立了相应的时间半离散格式,利用Z-变换对其进行了稳定性分析。然后,基于Weighted和Shifted的Lubich difference(WSLD)算子建立了两种四阶时间半离散格式。最后,基于Lubich差分算子建立了二阶,三阶和四阶时间半离散格式,并利用Z-变换给出了相应的稳定性定理。(2)时间分数阶薛定谔方程的Sinc-Galerkin全离散格式。对于一维和二维时间分数阶薛定谔方程,在时间半离散格式的基础上,空间算子采用Sinc-Galerkin方法进行离散,建立了八种求解时间分数阶薛定谔方程的全离散格式。特别的是,对于二维时间分数阶薛定谔方程离散格式的求解,应用Kronecker积将离散格式重写为一个大型的稀疏离散系统后再将其化为Sylvester方程形式求解。最后,利用数值算例通过取不同的参数验证了所建立格式的有效性,同时验证了所建立格式在时间上高阶收敛、空间指数阶收敛。(3)时间分数阶薛定谔方程的Sinc-Collocation全离散格式。时间算子仍采用上述提出的时间半离散格式进行离散,空间算子采用Sinc-Collocation方法进行离散,则分别为一维和二维的时间分数阶薛定谔方程建立了相应的全离散格式。最后,分别用一维和二维的数值算例验证所建立格式的有效性,结果表明Sinc-Collocation方法不仅是指数收敛的,且其自适应性对于奇异性问题也有良好的精度。