刻画矩阵集之间保持不变量的映射结构问题被称为保持问题，通过对保持问题的研究可以得到关于矩阵的不变量、函数、集合和关系等重要理论成果。从映射的角度来说，保持问题可分为：线性保持问题、加法保持问题和更一般的保持问题。从保持的不变量的角度来说，保持问题可分为：保持子集、保持关系、保持变换和保持函数。线性保持问题是矩阵论研究领域中一个十分活跃的课题，它主要刻画矩阵集之间保持某些函数、子集、关系、变换等不变量的线性算子。线性保持问题在微分方程，系统控制等领域都有广泛的应用，近年来也取得了丰硕的成果。　　本文在介绍线性保持问题的背景和发展概况之后，讨论了局部环上对称矩阵模到全矩阵代数的保立方幂等的线性算子。主要结果如下：　　设R为交换的局部环，n和m是正整数，且n≤m。设f为R上阶对称矩阵模到Sn(R)到R上m阶矩阵代数Mm(R)上的保立方幂等的线性映射。本文刻画了从到Sn(R)到Mm(R)上的保立方幂等的线性映射的形式。