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在科学与工程计算的许多实际问题中，我们常常根据实际应用的需要增加一列新的观测数据或删减一列旧的观测数据，从而考察算法之间的联系。这就是我们所说的Updating和Downdating问题。这个问题的实质是如何根据已有的矩阵分解来得到Updating或Downdating问题的解。本文我们主要研究直交化算法中的GS-QR方法解矩阵Updating和Downdating问题，并有以下的一些工作：
1．给出GS-QR方法解矩阵任意列向量Updating和Downdating问题的算法，并讨论其Updating和Downdating算法之间的关系。
2．证明MGS-QR方法和GS-QR方法所推导的Updating算法是等价的。同样，两者推导的Downdating算法也是等价的。
3．找到需要增减的列向量位置k与其相应GS-QR方法解矩阵第k列向量的Updating和Downdating算法运算量的联系。
4．寻找列向量位置指标k0，以决定是使用GS-QR推导Updating和Downdating算法还是对增减行或列后产生的新矩阵直接进行QR分解，达到改进算法的目的。