本文主要研究了平面图的两类染色问题:一类是平面图的多重染色,一类是平面图的边赋权染色.图G的一个b-重染色是给G的每个顶点〃分配一个含有b-个颜色的集合φ(u),使得对任意的边e=uv,φ(u)∩φ(u,=(?).如果对G的任意一个a-列表配置L,G都有一个b-重染色φ满足φ(v),(?)L(v),则称G是(a,b)-可选的.如果对任意的正整数b,G是([rb],b)-可选的,则称G是强r-分数可选的.我们定义G的强分数选择数为chf*)(G)=inf{r:G是强r-分数可选的}.对于图类g,令 chf*(g)=sup{chf*(G):G ∈g}.最近,Zhu[28]证明了对任意的正整数m,存在一个平面图不是(4m+[2m-1/9],m)+可选的;随后,Jiang和Zhu[11]证明了对任意的正整数m,存在一个没有3-圈的平面图不是(3m+[m/17],m)-可选的.令P表示平面图全体,令Pk表示不含k-圈的平面图全体.上述结果蕴含有chf*(P)≥4+2/9,chf*(P3)≥3+1/17.本论文研究了没有4-圈的平面图和没有5-圈的平面图的强分数选择数.我们证明了对任意的正整数m,存在一个没有4-圈的平面图不是(3m+[m/2],m)-可选的.对任意的正整数m,存在一个没有5-圈的平面图不是(3m+[m/4]-1,m)-可选的.所以,chf*P4)≥ 3+1/2,chf*(P5)≥3+1/4.在第二章我们给出了这两个结果的详细证明过程.图的边赋权染色的概念是Karonski,Luczak和Thomason[14]在2004年引进的.Karonski,Luczak和Thomason在[14]中提出了如下猜想:对任意不含孤立边的图G,存在G的一个边赋权w:E(G)→{1,2,3},使得对任意相邻的两个顶点u,v,有∑e∈E(u)w(e)≠∑e∈E(v)w(e).这一猜想近十多年来受到极大的关注,被称为1-2-3-猜想.我们称满足上述条件的边赋权w为G的一个3-边赋权点染色.Karonski,Luczak和Thomason证明了不含孤立边的3-可染的连通图满足1-2-3-猜想.2010年Kalkowski,Karonski和Pfender[13]证明了不含孤立边的连通图,存在一个5-边赋权点染色.2017年,Wu,Zhang和Zhu[27]等人证明了 4-可染的4-边连通图,存在3-边赋权点染色.Lyngsie,Thomassen和Zhong[17]在1-2-3-猜想的基础上提出了一个强化4-色定理的猜想:对任意不含孤立边的平面图G,存在G的一个边赋权w:E(G)→{1,2,3},使得对任意相邻的两个顶点u,v有∑e∈Eu(u)w(e)≠∑e∈E(u)w(e)(mod 4).我们称满足上述条件的边赋权w为G的一个3-边赋权4-染色.这是一个比4-色定理强很多的猜想.Lyngsie等人证明了4-可染的4-边连通图和三角化的平面图满足这个猜想.在本文中我们证明了阶数至少为3的树满足这个猜想.利用4-色定理,我们证明了每一个平面图G存在一个4-边赋权4-染色.另外,我们证明了每一个不含孤立边4m-可染的图G,存在一个4m-边赋权4m-染色.