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在非光滑优化中,函数的二阶性质与展开的理论与应用方面的研究是倍受关注的课题.
Lemaréchal,Mifflin,Sagastizábal和Oustry等提出的uv-分解理论,给出了非光滑凸函数f在不可微点(x)的二阶性质的新方法.uv-分解理论的基本思想是将Rn分解为两个正交的子空间u和v的直和,使得原函数在u空间上的一阶逼近是线性的,其不光滑特征集中于v空间中,借助于中间函数(u-Lagrange函数),得到函数在切于u的某个光滑轨道上的二阶展式.
本论文的内容如下:
1.第一章介绍了Lemaréchal,Mifflin,Sagastizábal和Oustry(2000)[4]等提出的uv-分解理论研究的历史概述与理论背景,u-Lagrange函数的来源(这为重新定义u-Lagrange函数并对其作进一步的研究作了准备),以及与这一基本理论有关的其它的研究工作.
2.第二章介绍uv-分解理论的基本思想,借助于中间函数-u-Lagrange函数,得到这一函数的一些基本性质及它的高阶性质,由此得到函数的二阶展式.uv-分解理论可应用到数学规划中:对于有限个约束的非线性规划问题,可以对这一问题所对应的精确罚函数作uv-空间分解.
3.在第三章,我们定义了一个新的u-Lagrange函数,讨论了这一函数的一些重要性质(一阶,高阶,微分性质以及它的最优解集的性质).当广义u-Hesse阵Huf((x))存在时,我们可以得到函数f沿着光滑轨道(x)+·⊕W(.)的二阶展式.
4.在第四章,我们确立了定义的u-Lagrange函数与函数f的Moreau-Yosida正则化函数之间的关系.我们也讨论了函数f的u-Hesse阵存在的充分必要条件,这一条件确保了函数作二阶展开的可行性,这也正是我们为什么要讨论新定义的u-Lagrange函数的原因所在.极小化一个凸函数可以采用在uv-空间分解理论基础上提出的概念型超线性收敛算法,也可以采用极小化这一凸函数的Moreau-Yosida正则化函数的算法,因为这是一个凸规划的光滑最优化问题.