【摘 要】
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可分非线性逆问题（Separable Nonlinear Inverse Problems,SNL）是参数分离的非线性最小二乘问题.大多数SNL问题不能用线性变换表示,所以考虑将其视为非线性数据来处理,即:将SNL问题建模为某些参数已定的非线性函数的线性组合.对于给定的参数,其目标是从非线性测量中提取信息.SNL问题是数据分析中非常重要且具有挑战性的问题之一.在以往的文献中,主要研究了无噪声环境下
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可分非线性逆问题（Separable Nonlinear Inverse Problems,SNL）是参数分离的非线性最小二乘问题.大多数SNL问题不能用线性变换表示,所以考虑将其视为非线性数据来处理,即:将SNL问题建模为某些参数已定的非线性函数的线性组合.对于给定的参数,其目标是从非线性测量中提取信息.SNL问题是数据分析中非常重要且具有挑战性的问题之一.在以往的文献中,主要研究了无噪声环境下的SNL问题.但是,在数据处理的过程中,噪声是难以避免的,所以研究噪声环境下的SNL问题是有必要的.另外,大多数学者将目光集中于一维SNL问题,这些研究框架是否可以推广至二维也是一个值得研究的问题.论文主要研究了有界噪声环境下SNL问题的鲁棒恢复问题以及二维带噪声的超分辨率重建问题.首先,针对SNL问题,讨论了有界噪声环境下的鲁棒恢复问题.基于对偶准则及最小化TV范数的重构算法,研究了SNL问题何时能够鲁棒恢复相应的参数.主要贡献是说明在有界噪声环境下,当支集中的元素之间的距离满足最小分离条件时,SNL问题的参数就可以达到鲁棒恢复.并且证明了在有界噪声的环境下,SNL问题的解具备三条性质:每个尖峰的振幅与估计尖峰的总和很接近;估计支集簇在真实信号的支集附近;支集之外的伪尖峰有很小的振幅.另外,研究结果表明,在每个尖峰处所产生的误差可以被一个不依赖于其他尖峰的振幅所限制.其次,针对经典的SNL问题之一:带噪声的超分辨率重建问题,基于最小化TV范数的重构算法,构造了一个适用于二维超分辨率重建问题的低频多项式,研究了估计误差与超分辨率因子及噪声水平之间的关系.主要贡献是将一维带噪声超分辨率重建问题的研究框架推广至二维,并且证明了当点源之间的距离满足最小分离条件时,估计误差的界与超分辨率因子的平方以及误差水平成正相关.
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