近几十年来,大量的数学模型被用于讨论各类传染病问题.通过对传染病模型进行定性定量分析以及数值模拟,能够揭示疾病的流行规律,预测其发展趋势,为疾病的预防和控制提供理论依据和数据.特别的,反应扩散传染病模型近年来受到广泛关注和研究.对于此类模型的理论研究主要集中于阈值动力学、行波解以及渐近传播速度等问题.阈值动力学能够静态的描述传染病在长时间行为下的传播结果,行波解能够动态的反映其传播过程以及结果;而传播速度正好刻画了传染病传播的快慢.众所周知,一些多种群型、多链型以及具有多个感染阶段的传染病模型不仅结构复杂(模型中方程数量较多)而且不满足比较原理(非单调系统),因此,研究此类问题就颇具挑战性,相关研究结果较少.本文对这些问题进行了探究,主要内容包含以下五个部分:本文首先研究了具有常数招募率的两种群SIR传染病模型的行波解的存在性与不存在性.通过构造恰当的上、下解,在有界域上得到一个不变锥,利用Schauder不动点定理证明该锥上存在一个不动点,然后利用极限方法(使得区域长度趋于无穷)以及Lyapunov泛函证明当基本再生数R0>1和波速c大于或等于临界波速c*时行波解的存在性.最后利用反证法以及Laplace变换证明了当R0>1且0<c<c*或者R0≤1时行波解的不存在性.对于一个有很长感染时期的传染病来说,其传染性是随着时间变化的,因此研究多个平行感染阶段的扩散型传染病模型是非常有意义的.本文的第二部分主要研究一类具有多个平行感染阶段的传染病模型的行波解的存在性以及不存在性.利用Schauder不动点定理结合极限方法(使得区域长度趋于无穷)以及Lyapunov泛函证明了当R0>1且c≥c*时此系统行波解的存在性.然后利用反证法证明了当R0≤1时行波解的不存在性.最后利用反证法以及传播性质证明了当R0>1且0<c<c*时行波解的不存在性.本文的第三部分主要研究了具有分布时滞的时间周期的两种群传染病模型的阈值动力学.首先通过考虑扩散、时间周期、多种群以及疾病的潜伏期因素,推导出了具有分布时滞的时间周期的两种群反应扩散传染病模型.然后利用次代算子引入基本再生数R0,进一步通过线性算子特征值理论分析建立了R0与相应的线性方程的Poincar(?)映射的谱半径之间的关系.最后,通过比较原理结合持久性理论证明了此模型的阈值动力学.本文的第四部分主要讨论了具有潜伏期的时间周期的双链SIS传染病模型的阈值动力学.首先考虑了单链SIS传染病模型的阈值动力学.通过定义第i(i=1,2)条链的基本再生数Ri0,我们证明了当Ri0≤1时相应的第i条链的疾病是消亡的,而当Ri0>1时第i条链的疾病是一致持久的.在此基础上,利用比较原理结合持久性理论证明了双链SIS传染病模型的阈值动力学.具体而言,通过定义第i(i=1,2)条链的入侵阈值(?)i0(i=1,2),我们分析了当Ri0≤1,i=1,2时无病平衡周期解是全局吸引的,当Ri0>1 Rj0(i≠=j,i,j=1,2)时第j条链的疾病消亡且第i条链的疾病可以一致持久,而当(?)i0>1(i=1,2)时两条链的疾病都是一致持久的.本文最后研究了一类时间周期SIR传染病扩散模型的渐近传播速度.我们给出了解的一致有界性估计,然后基于上、下解结合反证法证明了解的传播性质.具体而言,当基本再生数R0小于或等于1时,则模型的无病平衡周期解是全局吸引的.当R0>1时,疾病在波前之后持久,而在波前之前消亡.