【摘 要】
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熵对很多随机系统及实际问题来说,是一个很重要的指标.对某一状态空间,及其上的某一马氏半群而言,在给定初始分布μ的情形下,如何有效的刻画此马氏过程趋近平衡态时长时间的行为
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熵对很多随机系统及实际问题来说,是一个很重要的指标.对某一状态空间,及其上的某一马氏半群而言,在给定初始分布μ的情形下,如何有效的刻画此马氏过程趋近平衡态时长时间的行为下熵Ent(dμPt/dν)收敛到0的速率,这是一个重要的问题.众所周知,L1对数Sobolev不等式等价于熵的指数式收敛.在扩散情形下,L1对数Sobolev不等式等价于对数Sobolev不等式,而在一般情形下,后者强于前者.而L1对数Sobolev不等式强于Poincaré不等式.本文所要探讨的问题,就是如何刻画L1对数Sobolev不等式不成立时熵的收敛速度,特别是指数遍历(等价于Poincaré不等式)前提下的收敛情况.已知的众多文献,提供了若干介于对数Sobolev不等式与Poincaré不等式间的不等式,如Beckner不等式,某些超Poincaré不等式,弱对数Sobolev不等式等;在刻画一般马氏过程的熵的收敛速度问题中,弱对数Sobolev不等式相对而言是最为有效直接的.所以,本文将讨论,Poincaré不等式与一般的弱对数Sobolev不等式之间的关系,即如何由Poincaré不等式出发得到较为精确的能便捷的用以刻画弱收敛的弱对数Sobolev不等式.同时考虑了如何由等周不等式出发推导弱对数Sobolev不等式,最后使用了加权Hardy不等式给出了生灭过程上弱对数Sobolev不等式的判别准则.
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