论文部分内容阅读
本文首先研究分数阶耗散型方程的Cauchy问题:{ut+(-△)αu=F(u),(t,x)∈R+×Rn,u(0,x)=φ(x),x∈Rn.
许多经典偏微分方程是其特例，如：
(1)半线性分数阶耗散型方程ut+(-△)αu=±v|u|bu；(0.2)；
(2)耗散型拟地球自转方程{θt+u·▽θ+κ(-△)αθ=0,u=(u1,u2)=▽⊥ψ,(-▽)1/2ψ=θ,(t,x)∈R+×R2,(0.3)其中1/2＜α≤1；
(3)广义Navier-Stokes方程ut+(-△)αu-(u·▽)u+▽P=0；(0.4)；
(4)广义对流扩散方程ut+(-△)αu=a.▽(|u|bu)，a∈Rn/{0}.(0.5)；
(5)Ginzburg-Landau方程ut+a1▽4u=G(u)+a2▽2u+a▽2u3，(t，x)∈[0，∞)×Rn.(0.6)α1＞0，a＞0 and a2≠0.
接着，我们在弱Morrey空间和容许奇性解的空间，如Lorentz空间和拟测度空间研究耗散型拟地球自转方程的Cauchy问题.在第四章我们研究耗散型拟地球自转方程弱解的正则性条件.第五章研究磁微极流体方程组弱解在经典的Lebesgue空间和Besov空间的正则性.本研究报告的主要研究内容包括以下五个方面：
(A)对Lebesgue空间Lγ(Rn)(r≥r0△=nb/2α-d)和齐次Besov空间(·B)-σp,∞(Rn)(σ=2α-d/b-n/p，1≤p≤∞)的初值，研究了分数阶耗散型方程的Cauchy问题.利用不变导数技术，我们推导了分数阶耗散型算子半群et(-△)α的核函数的逐点估计，进一步建立了相应的时空估计.对于Lebesgue空间Lγ(Rn)的初值，利用Banach压缩映射原理建立了局部解的适定性，对于齐次Besov空间(·B)-σp,∞(Rn)中的小初值，建立了整体解的适定性.特别地，如果Lebesgue空间Lro(Rn)中的初值ψ(x)，在Besov空间(·B)-σp,∞(Rn)意义下的范数充分小，整体解的适定性也可以得到.
(B)在弱Morrey空间中研究了耗散型拟地球自转方程Cauchy问题的适定性.如果初值在M*p,λ(Rn)充分小，这里1＜p＜∞且λ=n-(2α-1)p，而且外力在时间加权的弱Morrey空间充分小，则耗散型拟地球自转方程Cauchy问题是整体适定的.
(C)第三章在包含奇性解的函数空间，即拟测度空间pMn+1-2α(Rn)和Lorentz空间Ln/2α-1，∞(Rn)研究了耗散型拟地球自转方程Cauchy问题的适定性.如果初值θ0(x)在这些空间中充分小，则该方程的Cauchy问题是整体适定的.进一步我们在拟测度空间证明了整体解的渐进稳定性.特别地，如果初值是齐次度为1-2α的齐次函数，我们证明了自相似解的存在性.
(D)我们在第四章讨论耗散型拟地球自转方程弱解的正则性条件.我们证明：如果▽⊥θ∈Lr(0，T；(·B)0p,∞(Rn))，2/p+α/r≤α，2/α＜p≤∞，则θ可以连续延拓超过存在时间区间[0，T).本部分结果改进了D.Chae(SIAM.J.Math.Anal.37(2006)1649-1656)的结果，扩展了Dong-Chen(J.Math.Anal.Appl.329(2007)1212-1217)的结果.
(E)我们在最后一章研究R3中磁微极流体方程组光滑解的爆破准则和弱解的正则性.我们得到了弱解(u，ω，b)经典的正则性准则，即：u∈Lq(0，T；Lp(R3))，2/q+3/p≤1,3＜p≤∞，u∈C([0，T)；L3(R3))或者▽u∈Lq(0，T；Lp)，3/2＜＜p≤∞，2/q+3/p≤2.进一步，我们的结果表明弱解的正则性主要由流体的速度场u决定.在端点p=∞的情形，光滑解的爆破准则可以推广到更一般的Besov空间(u，ω，b)∈L2(0，T;(·B)0∞,∞(R3))或▽(u，ω，b)∈L1(0，T；(·B)0∞,∞(R3)).