【摘 要】
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分数阶量子力学是量子力学由整数阶导数向分数阶导数的扩展,自Laskin提出以来,受到了广泛关注。它由扩展的薛定谔方程（SE）—分数阶薛定谔方程（FSE）描述,它包含分数阶空间导数。然而,与FSE相关的数学问题和波包的稳态行为并不是那么简单,主要困难来自分数阶拉普拉斯导数,它本质上是一个非局部算子。基于傍轴波动方程与SE的等价性,Longhi提出了一种基于非球面光学腔的FSE光学实现方法。在一维或二
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分数阶量子力学是量子力学由整数阶导数向分数阶导数的扩展,自Laskin提出以来,受到了广泛关注。它由扩展的薛定谔方程（SE）—分数阶薛定谔方程（FSE）描述,它包含分数阶空间导数。然而,与FSE相关的数学问题和波包的稳态行为并不是那么简单,主要困难来自分数阶拉普拉斯导数,它本质上是一个非局部算子。基于傍轴波动方程与SE的等价性,Longhi提出了一种基于非球面光学腔的FSE光学实现方法。在一维或二维系统中,安德森局域是波包以指数形式局部化在无序晶格中。长程有序的准周期结构是介于全周期和全无序系统之间的中间阶段。在这种准周期结构中,局域态、临界态和扩展态被发现存在或共存,并且可以相互转换。在Aubry-André模型中研究了准周期系统中的这种局域态到扩展态之间的跃迁。在线性或非线性FSE中,波包的局部化是非常有趣的。我们的工作包括以下几个方面:1.介绍了线性局域化的安德森局域态和非线性局域化的孤子。在本章中,我们将介绍安德森局域化的历史、研究安德森局域化的基本方法、以及扩展态和孤子等相关知识。2.阐述了分数阶导数的基本概念,给出了可积变换的表达式,介绍了一些简单的例子,并给出了相应的数值方法。详细给出了分数阶导数的定义,介绍了分数阶导数下傅里叶变换和拉普拉斯变换的性质,给出了自由粒子和一维无限深势阱中粒子的解析解。简要介绍了分数维空间,给出了分数维自由粒子的解析解。同时,还介绍了一类重要的特殊函数Mittag函数,并利用它的性质与分离变量法求解了自由粒子的定态方程。数值上给出了分数阶差分格式,并对其稳定性进行了简要分析。3.讨论了线性局域化问题。我们用准周期势或由随机函数和周期函数构成的复合随机势求解线性分数阶薛定谔方程,得到了它们的本征函数,并讨论了外势和导数阶数对局部化的影响。4.研究了非线性局域化问题。一方面,我们用传播方法讨论了非线性效应对线性局域态的影响。另一方面,我们找到了分数阶非线性薛定谔方程的孤子解,讨论了Kerr非线性和导数的阶数对孤子的影响。分数阶非线性薛定谔方程的局域化研究,不仅将Anderson局域的基础理论从整数维扩展到分数维,而且为调节扩展态到局域化态的相变提供了新手段。
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