纽结和链环是分子结构的新形式,它们不仅出现在自然界的生物分子中,并且在近年来的合成分子中也得以实现.这些新颖的结构在分子的化学和物理性质中起到了重要作用.链环不变量将成为理解和描述这些结构的重要工具.本文旨在通过图理论与纽结理论之间的联系,建立了一些具有生物化学意义的链环,并且研究了它们的不变量.本论文的内容可以概括为以下四个部分：一、背景知识第一部分主要介绍了本文的研究背景与基础知识.在研究背景方面,侧重介绍在实验中合成的DNA多面体分子和噬菌体HK97病毒的衣壳,其中DNA多面体分子按照每条边由一个或两个并行的DNA链所组成的情况分为两类,即：I-DNA多面体和H-DNA多面体.这些事实为我们的研究工作提供了背景和目标.第二章的基础知识主要涉及图理论和纽结理论方面的一些基本概念和符号,为我们的研究提供了理论基础.二、多面体链环的HOMFLY多项式与相关不变量在结构纳米技术中,以DNA分子为建筑材料的DNA多面体已经在实验室中陆续被合成,如何理解和分析这些分子的拓扑立体结构成为了科学家们面对的难题之一.多面体链环作为结构近似的数学模型被给出,我们的研究工作主要集中在如何获得不同类型的多面体链环的链环不变量.首先,将多面体链环按照DNA多面体的结构类型对应的分为两大类,即：Ⅰ-多面体链环和Ⅱ-多面体链环.并且,基于Ⅱ-多面体链环结构的复杂性,依据其建筑块的奇偶性,进一步将其分为奇、偶多面体链环,对其拓扑结构进行了分别的研究.这些链环都可以通过对多面体的每条边进行“缠绕取代”操作来得到.从而建立了它们的HOMFLY多项式与原图的多项式不变量之间的联系.对于单链多面体链环,这一关系不仅大大简化了HOMFLY多项式的计算,并且由此可得到一些经典链环类—有理链环类的HOMFLY多项式.对于Ⅱ-多面体链环,进一步计算了HOMFLY-多项式的跨度,并讨论了它们的亏格和辫子指数.得到偶多面体链环的亏格为零,其辫子指数完全由建筑块和多面体图所确定.相比而言,奇多面体链环却无法嵌入到球面上,其亏格完全取决于多面体的面数.此外,后者因其结构上的复杂性,从而仅仅得到其辫子指数的上下界.这些研究为更为复杂的DNA多面体链环的合成和控制提供了理论支持.三、二连通平图上的链环的亏格亏格是纽结理论中一个重要的不变量,可用于分子索烃的分类.尽管如此,它通常却很难计算得到.对于一个n分支的链环,常常需要计算2n-1个不同的定向链环的亏格,尤其当分支数n很大时,这个工作量将变的很大.为了解决这一问题,利用用图来研究链环的亏格的思想.首先,一大类有向链环基于二连通平图的中间图的操作被生成了.然后,将有向链环的Seifert环与其状态的连通分支联系起来,通过用中间图来分析链环的交叉状态的改变,从而证明了这些链环在它们的所有定向链环中具有最小的Seifert环数.最终,这些链环的亏格可根据图的度和与链环的分支数来给出.这一结果即对原有数学问题提出了一种新的思路,又对自然界所发现的HK97病毒衣壳的结构刻画提供了有力的工具..四、刚性点图的多项式不变量偶度的刚性点图,可看作是一些边打结或相互缠绕的图.它是三维欧氏空间R3中的一个嵌入图,其每个点的度数皆为偶数.它将边的拓扑灵活性与点的局部刚性相结合,因此,在化学和生物网络中有着比较广泛的应用.对于4-正则和6-正则的刚性点图,其相应的多项式不变量已经被建立.尽管如此,对于一般的刚性点图,原来思想的直接应用将产生更为复杂的情况；这将使得多项式不变量的建立变得很困难.在这里,运用组合的方法,将任意给定的偶度的刚性点图与一个链环集联系起来,从而建立了定向刚性点图的HOMFLY多项式和未定向刚性点图的Kauffman多项式.我们的工作推广了原来在4-正则的刚性点图上的结果,并且简化了在6-正则的刚性点图上的所用的方法.此外,这些刚性点图的多项式不变量可以完全由可平面图的图积分所完全决定.