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本篇论文讨论非线性椭圆偏微分方程多解问题的数值解法，其中模型问题的微分方程项和边界项都带有非线性项。由于方程的非线性性和解的多重性及其不稳定性，本文采用局部极小极大方法(LMM)与有限元(FEM)、边界元方法(BEM)相结合的混合数值方法来求解模型问题的非平凡且不稳定的多重数值解。首先定义一个与目标问题相对应的能量泛函，使得该能量泛函的欧拉-拉格朗日方程对应于原目标问题，由临界点理论，该能量泛函的临界点就——对应于它相应的欧拉-拉格朗日方程（也即目标问题）的解。极小极大方法是临界点理论中用来刻画临界点的最常用最流行的方法。但是，那些极小极大方法最终都归结为求解一个双层的全局最优化问题，一个在计算机非常难于实现的优化问题。本文将采用更利于编程实现的局部极小极大方法来求解原问题的不稳定的多重数值解。在每一次局部极小极大迭代过程中需要计算能量泛函的Frechet导数，它涉及到求解一个线性椭圆方程问题，并且该线性椭圆问题的微分方程项和边界项都是非齐次的。为了提高计算效率，我们把该线性椭圆问题分拆成两个非齐次的线性问题，其中，它们的非齐次项分别只出现在方程中和只出现在边界上。对前者的计算，我们采用有限元方法；而对后者的计算，则采用更为高效的边界元方法。最后，我们给出了计算实例以及相应的数值计算结果。