在这篇文章中，我们将首先讨论下面这个周期离散非线性薛定谔方程的离散孤立子：　　 iψn=-△ψn+εnψn-γxnfn(ψn)，n∈Z，其中这里　　 △ψn=ψn+a+ψn-1-2ψn是一维空间中的离散的拉普拉斯算子，γ=±1，fn(s)=｜s｜2s或者fn(s)=｜s｜2s/1+cns2，s∈R。这里给出的数列{εn}，{cn}和{xn]是以N为周期的数列(N是一个正整数)，即对所有的n∈Z有：εn+N=εn，cn+N=cn且xn+N=xn。考虑到孤立子的定义，ψn有这样的形式：　　 ψn=une-iωt，这里{un}是一个实值的数列，并且ω∈R是时间频率，那么我们得到下面的方程：　　 一△un+εnun-ωun=γxnfn(un)，n∈Z。　　 事实上，我们将考虑一个更为一般的周期离散非线性薛定谔方程：　　 Lun-ωun=γxngn(un)，n∈Z，(DNLS1)其中gn是一个函数列，算子L是一个Jacobi算子[61]，并且它的定义如下：　　 Lun=anun+1+an-1un-1+bnun。在这里，{an}和(6n)是以N为周期的实值数列，即对所有的n∈Z有：an+N=an且bn+N=bn。　　 如果an=-1且bn=2+εn，那么方程(DNLS1)就变成了下面这个方程-△un+εnun-ωun=γxngn(un)，n∈Z.(DNLS2)　　 对于方程(DNLS2)而言，如果离散势V={εn}是非周期的，且γ=1，我们将讨论下面这个非周期的离散非线性薛定谔方程：　　 一△un+εnun-ωun=gn(un)，n∈Z，(DNLS3)其中这里的gn关于n∈Z是非周期的。　　 在我们的文章里面，我们假设ω属于算子L的一个有限的谱间隔，或者ω是这个算子的一个谱端点。如果gn是渐进线性或者超线性的时候，我们利用不同的方法得到了离散非线性薛定谔方程的非平凡孤立子的存在性和多重性，其中这篇文章里面的方法有变化推广的弱linking定理，不定的变分问题向确定的问题的一个直接和简单的转化，以及变化的喷泉定理。值得注意的是，当ω属于算子L的一个有限的谱间隔的时候，我们不仅解决了由Pankov(2006Nonlinearity1927-40)提出的一个公开问题，而且我们还得到了关于周期离散非线性薛定谔方程(DNLS1)的非平凡孤立子存在性的一个充分必要条件。对于周期离散非线性薛定谔方程(DNLS1)，当｜s｜→∞，gn(s)是超线性或者渐进线性的时候，如果gn(s)关于s∈R是奇函数，那么我们得到了无穷多个几何不同的解。对于非周期的离散非线性薛定谔方程(DNLS3)，如果gn(s)关于s∈R是奇函数，并且gn(s)关于s在无穷远处是超线性的，那么我们利用邹文明的一个变化的喷泉定理得到了这个方程的无穷多个非平凡的孤立子。　　 总而言之，这篇文章的写作布局如下：　　 在第一章里面，我们将先介绍关于离散非线性薛定谔方程的一些背景知识，以及最近的研究动态。　　 在第二章里面，我们假设ω属于算子L的一个有限的谱间隔，或者ω是算子L的一个谱端点，我们将研究周期离散非线性薛定谔方程(DNLS1)的非平凡孤立子的存在性，在这一章中，我们利用的方法是来源于Schechter和邹文明的应用于强不定问题的变化推广的弱linking定理。值得注意的是，我们不仅解决了由Pankov(2006 Nonlinearity1927-40)提出的一个公开问题，而且我们还得到了关于周期离散非线性薛定谔方程(DNLS1)的非平凡孤立子存在性的一个充分必要条件。　　 在第三章里面，我们假设ω属于算子L的一个有限的谱间隔，对于周期离散非线性薛定谔方程(DNLS1)，其中方程的非线性项是超线性或者渐进线性的，如果gn(s)关于s∈R是奇的，那么我们得到了无穷多个几何不同的解，这一章利用的方法是不定的变分问题向确定的问题的一个直接和简单的转化。　　 在第四章里面，我们将利用Jeanjean的一个变化的喷泉定理来研究周期离散非线性薛定谔方程(DNLS2)的非平凡孤立子的存在性，其中方程的非线性项是超线性或者渐进线性的。　　 最后，在第五章里面，当gn(s)关于s∈R是奇函数的时候，我们利用邹文明的一个变化的喷泉定理得到了非周期离散薛定谔方程(DNLS3)的无穷多个非平凡孤立子，其中当｜s｜→∞时，gn(s)是超线性的。