【摘 要】
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微积分是研究函数的微分、积分以及相关概念和应用的数学分支.微积分学内容主要包括函数、极限、微分学、积分学及其应用.19世纪的微积分学中已经有了许多直观而有用的积分(
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微积分是研究函数的微分、积分以及相关概念和应用的数学分支.微积分学内容主要包括函数、极限、微分学、积分学及其应用.19世纪的微积分学中已经有了许多直观而有用的积分(例如Riemann积分, Riemann-Stieltjes积分).然而面对一些复杂的函数,经常遇到积分与极限能否交换顺序的问题,1902年法国数学家Lebesgue出色的完成了这一工作,建立了Lebesgue可积分理论,接着又产生了Lebesgue-Stieltjes积分,而后发展成为建立在一般集合上的测度和积分理论,也就是测度论.测度论是Lebesgue测度和Lebesgue积分理论的进一步抽象和发展,是现代分析数学中重要工具之一. Lebesgue在1910年建立了Lebesgue微分定理,而本文所要研究的Lebesgue密度定理可视为Lebesgue微分定理的一种特殊情况.本文绪论部分主要介绍问题研究的背景及现状,回顾前人所做的工作和已得结论.在第二章,我们介绍Lebesgue密度定理的一种简单的证明方法.最后一章我们给出Lebesgue密度定理的几个相关结论,包括Lebesgue密度定理的逆命题; Lebesgue密度定理的例外点;实数与整数分形集上类似的Lebesgue密度定理; Lebesgue密度定理在无限维空间的讨论.最后指出:在无限维空间类似的Lebesgue密度定理至今还没有确切的结论.
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