矩阵不等式在矩阵理论中有着具足轻重的地位,将其推广到无穷维情形就形成了Hilbert空间的算子不等式,成为了算子理论的一个重要分支.在本学位论文中,我们主要对算子偏序,扇形矩阵不等式,Young型算子不等式,Rotfel’d型矩阵不等式,函数型矩阵不等式,Harnack型矩阵不等式等相关问题进行研究.本学位论文共分四章.第一章,我们主要介绍算子不等式的研究背景,术语定义以及主要研究结果.第二章,在算子偏序方面,首先,我们给出了系数更为优化的正算子Kantorovich不等式和正算子反向加权算术几何平均不等式,并将这些不等式推广到了增生算子等更为一般的情形.其次,我们利用两种不同的方法得到了一个Young型算子不等式,给出了两个相关的(p>0)次幂不等式,得到了一些涉及Hilbert-Schmidt范数的不等式.最后,我们给出了一个新的关于矩阵酉不变范数的函数,该函数关于每个变量都是对数凸的,并且给出了一些相关的酉不变范数不等式.第三章,基于优超(majorization)理论,我们证明了数值域包含在一个扇形区域的矩阵的一些奇异值不等式、酉不变范数不等式和行列式不等式,推广了Garg-Aujla型半正定矩阵不等式.其次,我们给出了一些Rotfel’d型不等式在扇形矩阵上的推广.最后,我们给出了一些与Heinz平均相关的扇形矩阵不等式.第四章,我们给出了新的关于特征值和奇异值的Harnack型矩阵不等式的上下界,优化了现有的结果,并讨论和比较了通过不同的方法得到的上下界.此外,我们提出了一些关于谱范数和特征值的问题.