本文主要研究了与拟共形映射偏差理论密切相关的特殊函数及其推广的函数，包括超几何函数、椭圆积分、偏差函数和椭圆函数.　　在第一章中，我们首先对上述这些特殊函数的发展历史和研究现状做了简单的综述.然后介绍了本文的主要内容和创新点.最后给出了在全文中经常用到的一些基本概念和两个简单而十分有用的引理.　　第二章中，我们研究了Gauss超几何函数.超几何函数是最基本的特殊函数，许多特殊函数都是它的特殊情形.我们首先回顾总结了超几何函数的一些基本性质，包括积分表示、对数奇点处的表现、连接函数关系和Elliott恒等式等.这些性质在下一章的椭圆积分的研究中起了重要的作用.然后，我们罗列了一些超几何函数的单调性，由此可获得超几何函数在奇点处的表现和超几何函数的某种线性化.最后，我们研究了超几何函数的广义凹凸性，并导出了超几何函数的可乘性质.　　椭圆积分是在参数的特殊取值下的超几何函数.在第三章中，我们主要研究了带一个参数的广义椭圆积分和由广义椭圆积分的乘积定义的一个特殊函数ma(r).首先我们回顾了Legendre恒等式和Landen变换公式.然后研究了特殊函数ma(r)在a=1/2时的单调性和幂平均不等式.接下来，我们研究了带一个参数的广义椭圆积分和特殊函数ma(r)的单调性.函数ma(r)的单调性在偏差函数ψK(r)和模函数ψaK(r)的精确估计中起了重要的作用.　　平面Gr(o)tzsch环的模由第一类完全椭圆积分的比来表示，即Gr(o)tzsch环函数.Gr(o)tzsch环函数也出现在经典的模方程理论中.第四章中，我们研究Gr(o)tzsch环函数及其推广.利用椭圆积分的Landen变换公式易得Gr(o)tzsch环函数的相应的变换公式.我们也介绍了Gr(o)tzsch环函数的无穷乘积表示.然后我们罗列了Gr(o)tzsch环函数的一些已知的单调性质，并研究了它的幂平均不等式，从而推广了Gr(o)tzsch环函数的几何平均不等式.接着我们证明了广义Gr(o)tzsch函数的一些单调性质，这些性质可被用来导出下一章中的模函数和广义η-函数的一些精确的界.同时我们也证明了广义Gr(o)tzsch函数的关于两个参数的幂平均不等式.最后我们引入了函数的指数拟可加性的概念，并应用指数拟可加性导出广义Gr(o)tzsch函数所满足的一个函数不等式.　　第五章中，我们研究了拟共形偏差函数及其推广.首先，我们给出各种偏差函数的定义以及它们与模方程的联系，并罗列了一些这些函数满足的代数方程.我们还介绍了一些重要的单调性质和线性化变换.然后我们证明了Hersch-Pfluger偏差函数的H(o)lder平均凹凸性.接着我们建立模函数的精确不等式，这些不等式涉及到广义Gr(o)tzsch函数和特殊函数ma(r).结合第三章和第四章中导出的不等式可以获得Hersch-Pfluger偏差函数和模函数的精确的初等界.最后我们研究了广义η-函数.我们建立了广义η-函数和广义Gr(o)tzsch函数之间的联系，这些联系使得我们能够利用第四章中的广义Gr(o)tzsch函数的不等式来获得广义η-函数渐近精确的界.我们还研究了广义η-函数的广义凹凸性来得到一些函数不等式.　　Jacobi椭圆函数是第六章的主要研究对象.首先我们回顾了Jacobi椭圆函数的定义和一些简单的性质.然后证明了Jacobi椭圆函数的单调性，由此获得精确不等式推广了相应的三角函数和椭圆积分的一些不等式.最后我们证明了Jacobi椭圆函数的H(o)lder平均凹性.　　在最后一章中，我们对前面几章中涉及的函数引入更多的参数作进一步的推广.我们对这些函数做了初步的研究，获得了相应的函数的单调性.