20世纪70年代布雷顿森林体系崩溃,,西方国家纷纷放弃固定汇率制,实行浮动汇率制度。同时各国国内也逐渐放松或废除对利率、证券市场的监管限制,汇率、利率和证券价格频繁剧烈波动,促使人们将衍生品市场的风险规避功能和金融产品的风险需求结合,创建金融衍生品。尽管从诞生之初就饱受争议,甚至还曾经造成巴林银行的倒闭,金融衍生品始终保持着快速发展的势态。即使经过了四十多年的持续迅猛发展,金融衍生品的发展仍然方兴未艾。本世纪初,股票期权相继在伦敦国际金融期货交易所、One Chicago交易所(美国芝加哥期货交易所、芝加哥商业交易所和芝加哥期权交易所联合发起的交易所)推出后,交易量迅速攀升,目前已成为世界期货类金融产品第一大品种。自期权诞生以后,众多学者开始对期权定价问题进行深入研究。1973年,美国的两位年轻学者Black和Scholes在著名的《政治经济学》刊物上发表了《期权与公司负债的定价》,提出了著名的Black-Scholes模型。该文成功计算出欧式期权的解析解,对学术界和实务界产生了巨大的影响。其后,各国学者对模型存在的缺陷和不足不断的改进和扩展。同年,哈佛大学的Merton教授也发表关于期权的论文,从另一个角度完整介绍了期权定价的各个方面。BS模型的推出极大的促进了期权市场的发展。而随着期权市场的迅猛发展,人们对期权定价的研究越来越多,很多学者提出了不同的定价模型。总的来讲,期权定价的模型可以分为连续时间模型和离散时间模型,定价的结果也可以分为解析解和数值解。BS模型就是解析解,而数值方法,比如蒙特卡洛模拟、二叉树和有限差分方法则是离散时间模型,得到的是数值解。本文以美式期权和百慕大式期权为研究对象,在综述已有期权研究方法的基础上,重点探索结合正则分布、执行边界参数化、对偶模拟算法,对美式期权和百慕大式期权进行定价。本文在前人研究成果的基础上,提出一种叫做正则执行边界参数化对偶模拟方法(canonical exercise-boundary-parameterization primal-dual-simulation, CEP),对美式百慕大式期权定价。该方法分为三个部分：首先,用正则方法从某一时期的历史数据中获得风险中性分布(risk-neutral distribution),再从该分布中获取收益率的随机样本,从而模拟出风险中性路径。其次,采用最小二乘蒙特卡洛(monte carlo)方法从该路径中获得期权价格下界(lower bounds)和最优执行边界。最后,在下界和最优执行边界基础上,运用对偶模拟方法求得上界(upper bounds),即期权最终价格。波动率是现代期权定价理论中最重要的参数之一,却无法从资本市场直接获取。而Stutzer (1996,2000)提出的一种正则定价法(canonical valuation method)成功的规避了波动率估计问题或对标的资产运动过程的假设,成功对欧式期权定价。所谓正则定价,是指从价格时间序列中获得各收益率对应的风险中性概率,然后求期望并折现,从而获得欧式期权价格。该方法优点显著,既不需要关心标的资产价格的分布,也不需要估计波动率。正则定价的方法是：首先从历史数据中提取风险中性概率测度,继而得到风险中性分布和累积分布函数(cumulative distribution function)然后从均匀分布(uniform distribution)取样,形成累积分布函数,再通过层层对应关系得到风险中性收益率,最终形成风险中性路径。(1)风险中性分布及其累积分布函数假定当前时刻为t,美式期权在T时刻到期。如果要定价,我们需要知道未来T-t年标的资产的分布。不同于Black-Scholes模型假定标的资产服从对数正态分布,正则方法直接以T-t年收益率样本的分布作为标的资产的分布。给定n个历史收益率(毛收益率,或价格比),时间间隔可以是小时、天、周,或者其他任何比T-t小得多的时间,只要能够提供足够多的步数来表征提前执行时间。风险中性测度下,标的资产T-t时间内应该取得无风险收益,可以获得一组关于风险中性概率的方程组。如Stutzer (1996)和Gary et al (2007)所述,第k个风险中性概率遵循最大熵准则(the principle of maximum entropy),因此求得风险中性概率。将各个时间间隔的历史收益率排序,然后将其对应的风险中性概率加总,可得到风险中性概率的累积分布函数。(2)风险中性路径假定U为服从[0,1]均匀分布的随机变量,D为任意随机变量的累积分布函数,则由概率理论可知D的反函数的累积分布函数等于累积分布函数。故只要累积分布函数给定,我们可以从任意分布中抽样。这样,通过风险中信概率到其历史收益率的映射,风险中性测度下的收益率随机样本可以用以下方式模拟得到：首先从上述均匀分布中产生一个随机数；然后将其与风险概率测度匹配,进而后者映射到对应的收益率RΔζκ。重复上述操作,我们可以得到一条标的资产路径。在风险中性定价的基础上,本文采用执行边界参数化方法求解期权的下界。该方法是指在某一可提前执行点,找出使当前时刻期权价格均值最大时的股票价格作为临界值。如果期权为看涨期权,则当路径股票价格高于此临界值时,立即执行；当路径股票价格低于此临界值时,继续持有。在这篇文章中,对于提前执行还是继续持有的决定使用蛮力(brute force)搜索。Andersen&Andreasen (2000)介绍了一种更巧妙的方法,使算法的计算量大大降低的同时,不影响期权定价的准确性。首先,和前一类方法一样,用蒙特卡洛方法模拟标的资产价格运动过程,产生很多条路径,比如若标的资产为单个品种,则假定标的资产价格运动服从几何布朗运动。然后,从期终开始,将所有价内路径对应的股票价格排序,轮流将在其条件下,所有路径期权的平均值与前一个进行比较,找出期权平均值最大的路径对应的股票价格,即为临界值(设定期终时刻的临界价格为执行价)。对所有可提前执行点从到期日开始往前重复此项操作,得到最优执行边界。最后,删除此前模拟的路径,重新模拟一组数量远大于此前路径数的新路径组,依然从后往前,对每个可提前执行点,如果期权为看涨期权,则当股票价格高于临界值时,立即执行；当股票价格低于或等于临界值时,继续持有。这样,得到所有路径所有可提前执行点的现金流,将其折现并求平均,即为期权价格。如果期权为看跌期权,则当股价高于临界值时,继续持有；当股价低于临界值时,立即执行。由于美式期权最优执行边界受很多因素影响,正则定价(canonical valuation)近年来虽然已被成功用于美式期权定价,并在获取执行边界上成果显著,但是仍然低估(underprice)了美式期权的价格。本文采用对偶模拟算法构建上界,但是上界计算的前提是找到最优执行边界。本文使用Liu(2008)所述方法,采用最小二乘蒙特卡洛方法求解最优执行边界。首先,用蒙特卡洛方法模拟标的资产价格运动过程,产生很多条路径,比如若标的资产为单个品种,则假定标的资产价格运动服从几何布朗运动。其次,以后向方式,对每个可提前执行点,找出价内路径,算出其期权立即执行价格。第三,对立即执行价和当前对应的股票价格用最小二乘回归求出二者之间的回归关系,再将各个股票价格代入回归表达式,求出期权继续持有的价格。最后,比较立即执行价和继续持有价的大小,决定是否提前执行。不断重复上述操作,直至0时刻。这个方法的优点是计算时间短,而且当路径数足够时,得到的期权价格比较准确。找到最优执行边界以后,本文采用对偶模拟算法构建上界。假定存在一组同一初始价格的t时刻标的资产价格矢量,均为马尔科夫过程(markov process)。Bt表示单位货币0时刻开始投资,在t时刻获得的无风险收益率。假定期权有d个可提前执行点,则在各个可提前执行点求得在t时刻执行时的盈亏(payoff),除以对应时刻的Bt,然后取期望,再取上确界,即可求得期权的一个初始价格(Primal Price)。这里假定市场完备(complete),且求期望是在风险中性条件下。由于一般可行的执行政策是理论上的最优执行策略的简化,所以用其求得的期权价格会小于理论值。换句话说,任何给定执行政策的算法都可以求得期权的下界。接下来我们求上界。令H表示一个合适的鞅空间,该鞅满足七绝对值的上确界小于无穷大,且0时刻的值为0。对这个鞅,我们由鞅的性质和选择抽样理论推导得出可以期权价格小于等于t时刻执行时的盈亏(payoff),除以对应时刻的Bt减去该时刻的鞅,先取最大值再取期望加上0时刻鞅的值。显然,上式中的不等式在取下确界(infimum)后依然成立,则式中右边的部分即定义了二次问题(dual problem),从而也就是我们需要求解的期权价格上界。本文在前人研究成果上,提出一种正则执行边界参数化对偶模拟方法,对美式百慕大式期权做了一定的探索。但限于个人能力与精力,方法还存在一些不足。希望在后面的研究中,这些不足会得到改进与完善。