近几十年来,最优输运理论得到广泛发展。它在人工智能、气象学、图像匹配、网络设计、数理金融等领域得到广泛应用,因而吸引了越来越多的研究者。受数理金融中奇异期权稳健定价的启发,研究者们在最优输运中引入了额外的约束,建立了著名的鞅最优输运理论。他们通过引入随机控制和Skorokhod嵌入技术来研究针对各种具体特定收益的鞅最优输运问题。一列满足凸序关系的概率测度序列称为peacock。研究表明,对任意peacock,都存在一个鞅,该鞅的分布为此peacock。因为peacock和鞅的紧密对应关系,关于peacock的研究已成为期权定价的活跃领域。但是凸序关系的拓扑性质及peacock的几何、测地动力学性质尚缺乏系统研究,许多基本问题尚未解决,这正是本文的研究动机。具体来说:1.凸序关系诱导的拓扑。凸序关系是概率测度之间的一种偏序关系,两个概率测度具有凸序关系意味着它们对任意凸函数积分保持一致的大小关系。对于两个任意给定的概率测度,凸序关系决定了一个介于两者之间的集合。以它们为端点的peacock若存在,必取值于该集合。通过构造特殊的控制函数并分情况估计,先后获得胎紧性与一致可积性,我们证明了这个集合的线性凸性和关于Wasserstein距离的紧性。另外,对于具有双向凸序关系的两个概率测度,我们利用光滑鼓包函数构造测试凸函数,证明了它们相等。这排除了peacock回路存在的可能性。我们探讨了凸序关系的稳定性:即便不改变期望值,我们都构造了充分微小的扰动打破原有凸序关系。2.peacock测地线的几何性质。我们主要研究底空间为R的Wasserstein空间中peacock测地线的性质。Wasserstein空间的测地性也保证了peacock测地线的存在性。测地线在不同时刻的取值为测度,其分布函数的逆能被端点分布函数的逆表示。在端点满足凸序关系的前提下,我们通过验证测地线上每一点的call函数单调递增来证明它是peacock,Ray及其定义的Busemann函数是研究大范围几何的一个重要工具,Busemann函数的负（弱）梯度线就是co-ray。我们给出了ray是peacock的一个充要条件。根据测地线分布函数逆的表示公式,我们获得了co-ray分布函数逆的表示公式。由此我们还证明了当ray是peacock时,它的co-ray也是peacock。