在数论中,研究具有特殊性质的数集是研究整数集的一个重要方向,由此产生了许多著名问题.作为整数集中两类特殊的数集,Lehmer数与平坦数的研究对数论的发展有着十分重要的意义.基于诸多学者的研究,本文考虑了以下问题:1.关于广义Lehmer数在不完整区间上的分布问题.令λ1，λ2是满足0＜λ1，λ2≤1的实数,q是满足q ≥max（[1/λ1],[1/λ2]）的正整数.利用Gauss和的性质以及指数和的上界,对广义Lehmer数在不完整区间1 ≤ α≤λ1q,1≤b≤λ2q上的分布情况进行了研究,并得到了#{a ∈ Z+|（a,q）=1,1 ≤a＜A1q,1≤b≤λ2q,b ≡ am mod q,n ?（a+b）}的渐近公式.2.关于广义Golomb猜想与Lehmer数的研究.令c1,c2是满足1≤c1,c2≤p-1的整数,S（c1,c2;p）是满足同余方程a+a1 ≡ c1 mod p,a+a2≡c2 mod p的（a,a1,a2）的个数,其中a是模p的Lehmer原根,a1,a2是模p的原根.利用Gauss和的性质与混合指数和的上界估计,得到了S（c1,c2;p）的渐近公式.由此发现对于模p的任意两个正整数c1,c2,一定存在模p的一个Lehmer原根a和两个原根a1,a2,使得同余方程a+a1≡c1 mod p和a+a2≡c2 mod p成立.此外利用混合指数和的上界,证明了当同余方程的个数大于等于3时,也有相应的结论.此内容推广了已有研究.3.关于特征和在广义平坦数集上的上界估计问题.令q,n是满足q ≥ 2,n ≥ 2和（n,q）=1的整数,χ是模q的Dirichlet特征且χ≠χ0,A,B,H是满足A,B,H≤q的整数.利用广义Kloosterman和的上界以及Gauss和的上界,得到了特征和在广义平坦数集Dn（A,B,H;q）上的上界估计,其中Dn（A,B,H;q）={a|（a,q）=1,1≤a≤A,1≤b≤B,ab≡1 mod q,|a-b|≤H,n ?（a+b）}.