拟线性椭圆型方程和抛物型方程是两类重要的偏微分方程,比较典型的例子有流体力学中的p-Laplace方程[1],多孔介质方程[2],非线性弹性反应扩散方程[3]等.近年来,随着人们对偏微分方程的研究更加地深入和广泛,所讨论的微分算子的形式也越来越复杂化,关于具p-Laplace算子的拟线性偏微分方程的研究得到了国内外数学家们的广泛关注.二十世纪初苏联数学家Sobolev在文[4,5]中引入了 Sobolev空间的概念,这类空间对偏微分方程的研究具有重要和广泛的应用价值,尤其是对p-Laplace方程的研究起着非常关键的作用.本文主要对几类具p-Laplace算子的椭圆型和抛物型方程解的性质进行研究.包括解的存在性、唯一性、正则性、爆破、熄灭以及解的长时间渐近行为等.全文共分为五第一章为绪论.介绍本文所研究的主要内容,研究现状及本文所研究问题需要克服的典型困难和使用的主要方法等.在第二章中,我们研究一类p-Laplace奇异椭圆方程的Dirichlet边值问题其中,Ω(?)R~N(N ≥ 1)是具有光滑边界的有界区域,是标准的p-Laplace算子,p>1,γ>1,h(x)是L1(Ω)中的正函数(即h(x>0几乎处处于Ω上).首先由于方程(1)具有强奇性(γ>1),经典的变分法(临界点理论),上下解方法以及不动点定理等常用方法对于问题(1)具有一定的限制性;又由于p-Laplace算子的存在,我们一般不能从un→u于W01,p(Ω)中弱收敛直接得到于Lp/p-1(Ω,R~N)中弱收敛,这也为我们解决问题(1)解的存在性提出了挑战;此外,求解奇异椭圆方程时,方程右端项h(x)起着至关重要的作用,它的性态和形式往往会决定求解的方法和复杂程度.问题(1)中的非齐次项h(x)是L1(Ω)中函数,具有较弱的正则性,也为我们求解奇异椭圆问题带来了很大的困难.为了克服以上困难,我们通过构造W01,p(Ω)中适当的集合(包含Nehari流形作为特殊情形),将问题(1)限制在此集合上来保证奇异项的可积性,然后考虑相应奇异能量泛函在此集合上的约束极小问题.借助Ekeland变分原理和一些分析技巧我们得到了问题(1)存在W01,p(Ω)解的充分必要条件.此外,借助p-Laplace算子的单调性证明了问题(1)W01,p(Ω)解的唯一性.这一章的主要结果如下:定理1.设Ω(?)R~N ≥ 1)是具有光滑边界的有界区域,p>1,γ>1,∈ 1(h是正函数(即h(x)>0几乎处处于Ω上),则问题(1)存在唯一的W01,p(Ω)解当且仅当存在函数u0∈W01,p(Ω)使得在第三章中,我们研究一类p-Kirchhoff型非线性奇异椭圆方程的Dirichlet边值问题其中,Ω(?)(R~N ≥ 1)是具有光滑边界的有界区域,p>1,0≤g≤p-1,γ>1是实数,B:R+ → R+ 是具有正下界的 C1 函数,-△pu =-div(|▽u|p-2▽u),h(x)∈ L1(Ω)是一正函数(即h(x)0几乎处处于Ω上),k(x∈ L∞(Ω)是非负函数.对于方程(2),除了具有强奇性(7>1)外,它的另一个显著特点就是二阶项的系数与∫|▽u|pdx有关,因此方程(2)本身不再是一个逐点意义下的等式.通常B(1/p∫Ω|▽u|pdx)被称为非局部项,方程(2)因此也被称为非局部方程.正是由于非局部项的存在,我们一般不能从un→a u于W01,p(Ω)中弱收敛直接得到B(1/p∫Ω|▽un|pdx)→B(1/p∫Ω|▽u|pdx),这也是解决非局部问题的最大困难所在.同第二章一样,为了克服奇异项以Ω及非局部项所带来了困难,我们需要构造W01,p(Ω)中特殊的集合来保证奇异项的可积性.通过考虑问题(2)相应的奇异能量泛函在特殊构造的集合上的约束极小问题,借助Ekeland变分原理及一些分析技巧我们得到了极小化序列在W01,p(Ω)中强收敛,给出了问题(2)存在W01,p(Ω)解的充分必要条件.在第三章第二节中,我们首先就问题(2)中p = 2,k(x 三0的特殊情形进行了讨论.此时假设B还满足如下条件(B1)B’(s)>0,(?)s>0.(B2)存在常数α>0,β>0,M>0,使得B(s)>βsα,(?)s>M,其中B(s)= ∫0s B(τ)dτ.这部分的主要结果如下:定理2.设Ω(?)R~N(N ≥ 1)是具有光滑边界的有界区域,p = 2,γ>1,k(x)三0,h(x)∈ LQ)是一正函数数(即h((x)>0 几乎处处处于Ω上),,B:R+→ R+是具有正下界的C1函数且满足假设条件(B1)和(B2),则问题(2)存在唯一的H01(Ω)解当且仅当存在函数u0∈H01(Ω),使得∫Ωh(x)|u0|1-γdx<+∞.在第三章第三节中,我们将问题(2)推广到了 p>1且具非线性增长项的一般情形.此时假设B还满足如下条件(B3)B’(s)>0,(?)s>0.(B4)存在常数α ≥ 1+q/p,β>0,M>0,使得B(s)>βsα,(?)s>M,其中,B(s)= ∫0s B(τ)dτ.特别地,当α = 1+q/p时,我们要求,其中S>0是从W01,p(Ω)到Lq+1(Ω)的嵌入常数.这部分的主要结果如下:定理3.设Ω(?)R~N(N ≥ 1)是具有光滑边界的有界区域,p>1,0 ≤ g≤p-1,γ>1.,h(x)∈ L1(Ω)是一正函数(即 h(x)>0 几乎处处于 上),k(x)∈L∞(Ω)是一非负函数,B:R+ → R+是具有正下界的C1函数且满足假设条件(B3)和(B4),则问题(2)至少存在一个W01,p(Ω)解当且仅当存在函数u0∈W01,p(Ω),使得定理4.当k(x)≡0 时,若问题(2)存在W01,p(Ω)解,则该解是唯一的.在第四章中,我们研究一类具退化强制项和自然增长条件梯度项的p-Laplace奇异椭圆方程的Dirichlet边值问题其中,Ω(?)(N ≥ p)是一有界区域,p>1,γ,θ>0,f是某一 Lebesgue空间Lm(Ω)(m ≥ 1)中的非负函数.注意到当u趋于无穷大时,趋于零,因此问题(3)中的微分算子A(u)=在W01,p(Ω)中不是强制的.我们使用截断方法,用非退化强制和非奇异算子分别逼近退化强制项 和奇异项 然后通过选取适当的检验函数得到逼近解序列{un}的一系列先验估计.最后通过极限过程得到问题(3)解的存在性以及正则性等结果.这里比较关键的是证明逼近解序列及其梯度的一些强收敛的结果,对此我们将通过选取合适的检验函数来实现.我们的主要结果如下:定理5.设0<θ<1，f是Lm(Ω)中的非负函数,若(?),则存在一个在Ω内沿革正的函数u(?),使得(?),且对任意(?)都有(?)定理6.设0<θ<1,f是Lm(Ω)中的非负函数.若N/pN-θ(N-1)<m<pN/pN-θ(N-p),则存在一个在Ω内严格正德函数u∈W01,σ(∈),σ=mN(p-θ)/N-θm,使得|▽u|p/uθ∈L1(Ω)且对任意φ∈01(Ω)都有定理7.设1≤ θ<p,γ>θ-1,f是Lm(Ω)中的非负函数.若且对每个紧子集ω(?)(?)Ω都有则存在一个在Ω内严格正的函数u ∈ W01,p(Ω),使得 且对任意φ∈W01,p(Ω)∩L∞(Ω)都有定理8.设1 ≤ θ<p,γ>θ-1,f是Lm(Ω)中的非负函数.若N/(pN-θ(N-1))<m<pN/(pN-θ(N-p)),且对每个紧子集ω(?)(?)Ω都有则存在一个在Ω内严格正的函数且对任意φ∈C01Ω 都有在第五章中,我们借助位势井族理论定性地研究几类具p-Laplace算子的薄膜方程.我们首先研究一类具非局部源项 的p-Laplace型薄膜方程其中,Ω是R中的有界开区间,T ∈((0,+∞],p>1,g>mmax{1,p-1},u0 ∈H.这我们首先构造问题(4)对应的Lyapunov泛函J(u)和Nehari泛函Ⅰ(u),引进改进的位势井族.通过分析相应泛函和位势井族,并结合Galerkin逼近方法及凸方法,我们得到了问题(4)在具次临界初始能量时,即J(u0)<d时(d为问题(4)相应的位势井的井深),弱解整体存在、有限时间爆破、有限时间熄灭的门槛结果.对于具临界初始能量J(u0)= d的情形,通过对初值进行扰动,我们也得到了相应的结果.此外,我们也给出了问题(4)弱解的唯一性的证明并对整体弱解的渐近性进行了刻画.最后我们给出了问题(4)的解在有限时间爆破的数值模拟.这部分的主要结果如下:定理 9.设 p>1,g>max{1,p-1} u0∈H.若J(u0)<d,I(u0)>0,问题(4题存在唯一的整体弱解u ∈ L∞(0,∞;H2(Ω)),ut∈ L2(0,∞;L2(Ω)).此外,u不会在有限时间熄灭,且定理10.设p>1,q>max{1,P-1},u0∈H,u是问题(4)的弱解.若J(u0)<d,I(u0<0,则存在有限时间T,使得u在T时刻爆破,即定理 11.设p>1,q>max{1,p-1},u0 ∈.若J(u0)=d,I(u0)≥ 0,问题(4存在唯一的整体弱解 u ∈ L∞(0,∞;H2(Ω)),ut ∈ L2(0,∞;L2(Ω)),并且 I(u)≥ 0.此外,若对任意t>0都有I(u)>0,则解不会在有限时间熄灭,且否则,解在有限时间熄灭.定理12.设p>1,q>max{1,p-1},u0∈H,u是问题(4)的弱解,若J(u0)=d，I(u0)<0,则存在有限时间T,使得u在T时刻爆破，即接下来,我们将问题(4)的结果推广到具非局部源项(?)的p-Kirchhoff型薄膜方程其中，Ω(?)R是有界开区间,T∈(0,+∞),p>1,q>2p-1,a>0,b>0,u0∈H.同样地，构造问题(5)对应的Lyapunov泛函J(u)和Nehari泛函I(u),借助位势井族理论我们得到了与问题(4)平行的结果.用d表示问题(5)相应的位势井井深，这部分的主要结果如下：定理 13.设 p>1,q>2p-1,u0∈H.若J(u0)<d,I(u0)>0,则问题(5)存在唯一的整体弱解u∈L∞(0,∞;H2(Ω)),ut∈L2(0,∞;L2(Ω)).此外,u不会在有限时间熄灭，且定理14.设p>1，q>2p-1,u0∈H,u是问题(5)的弱解.若J(u0)<d,I(u0)<0,则存在有限时间T,使得u在T时刻爆破,即定理 15.设p>1,g>2p-1,u0 ∈ H.若 J(u0)= d,I(u0)≥ 0,则问题(5)存在唯一的整体弱解 u ∈L∞(0,∞;H2(Ω)),∈L2((0,∞;L2(Ω)),并且I(u)≥ 0此外,若对任意t>0都有I(u)>0,则解不会在有限时间熄灭,且否则,解在有限时间熄灭.定理16.设p>1,g>-1,u0∈H,u是问题(5)的弱解.若J(u0)= d,I(u0)<0,则存在有限时间T,使得u在T时刻爆破,即。