【摘 要】
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本文主要研究了黎曼流形的切丛和切球丛上的几何性质.首先,我们研究了切丛在广义Cheeger-Gromoll度量Ga,b下所具有的几何性质,分别给出了切丛上具有与广义Cheeger-Gromoll度
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本文主要研究了黎曼流形的切丛和切球丛上的几何性质.首先,我们研究了切丛在广义Cheeger-Gromoll度量Ga,b下所具有的几何性质,分别给出了切丛上具有与广义Cheeger-Gromoll度量相容的复结构,Kahler结构以及Einstein结构的充分必要条件,并且描述了上述结构与切丛的曲率之间的关联.同时也给出了切丛在某一广义Cheeger-Gromoll度量的诱导下具有曲率齐性的必要性条件.其次,研究了黎曼空间中曲面的法丛在广义Cheeger-Gromoll度量诱导下的外蕴几何,并证明了曲面的法丛在此度量诱导下的极小性仅与底曲面的性质相关,而与广义Cheeger-Gromoll度量的选取无关.当外围空间是空间形式时,我们证明了曲面的法丛具有常平均曲率当且仅当其底空间是极小曲面；特别的,此时曲面的法丛也是外围空间的切丛中的极小子流形.再次,研究了黎曼空间中超曲面的切丛在Sasaki度量的诱导下所具有的几何性质.通过定义和研究超曲面的切丛上与诱导度量相容的殆复结构,给出了其上具有与诱导度量相容的殆Kahler结构和复结构的充分必要条件.而关于超曲面的切丛在此度量诱导下的外蕴几何,则证明了空间形式中的超曲面的切丛具有常平均曲率的充分必要条件,并由此给出了Miyaoka[115]所研究的负曲率空间中超曲面的一种几何描述.最后,研究了曲面的单位切球丛中Sasaki度量诱导的slant曲线的性质,并且证明了单位切球丛中的slant测地线或者是由底空间中的测地线和沿着它的平行的单位矢量场决定,或者是由底空间中的一条具有常速度和常曲率的曲线以及与它的切方向共线的单位矢量场决定.
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