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基于偏微分方程(Partial Differential Equations,简称PDE)的图像处理是一个非常富有挑战性的新兴领域,因为这一领域具有很多传统方法无法具备的优势,所以已经引起了许多国内外学者的注意。本文运用偏微分方程方法主要研究了图像分割与图像去噪方面的问题以及相关数值计算方法。基于PDE方法建立的许多模型往往包含L1范数,导致计算速度比较慢；它们通常需要非常严格的边界条件；而且如果初值选择不当,计算过程很容易陷入局部最优,所以研究偏微分方程的数值算法是非常有意义的。本文首先介绍偏微分方程的常用数值计算方法,然后深入研究了迭代计算速度非常快的Split-Bregman算法,并分析了此算法的主要优点。在此基础上,本文首先研究了图像分割问题。针对无边缘主动轮廓模型(Chan-Vess Model,简称CV模型),通过实验,对比了Split-Bregman算法与传统的水平集方法的分割效果。根据非局部全变分模型思想,将CV模型中的TV项改为非局部TV项,改进了标准CV模型。然后深入研究了局部二值拟合模型,根据模糊聚类算法思想提出了基于模糊区域竞争的模糊核模型,并结合模糊核模型特点,改进传统的Heaviside函数且提出了一种新的权值函数。提出的改进模型包括模糊核模型和惩罚模型,并应用Split-Bregman算法迭代计算改进模型。实验结果验证了本文提出的改进模型具有更精确的分割结果以及更快的收敛速度。本文最后研究了图像去噪问题。首先研究了经典的全变分模型(Total Variation Model,简称TV模型),并应用Split-Bregman算法迭代计算该模型。实验结果中得到的收敛曲线图验证了Split-Bregman算法可以有效提高TV模型的迭代计算速度。然后深入研究了非局部全变分模型(Non-Local Total Variation Model,简称NLTV模型),该模型使用图像本身中的大量冗余信息,建立待去噪像素点邻域与搜索窗口中的像素点邻域的相似性权值函数,进而计算非局部TV范数。本文使用两种不同的快速迭代算法(Chambolle. Split-Bregman)迭代计算此模型。实验结果验证了经该模型处理的图像具有更高的峰值信噪比。