随着科学技术的发展，传感器网络越来越受到人们的重视。通常，在传感器网络中最基本的任务是信息采集、数据传输和信号恢复。由于人们所需信息的不断增加导致传感器花费时间采集更多信息，因此，如何高效率利用传感器变得尤为重要。同时，在传感器网络中某些数据的采集是不容易实现的，过多的采集数据不仅影响传感器的传输效率也导致了能量的浪费，因此，对于恢复原始信号的逆问题，研究所需测量值的数目是十分有必要的。再者，为了更简单的分析传感器网络，通过图模型的性质进行分析，利用图模型知识可以将复杂的系统分解成若干简单的组成部分，也可以通过已知的图模型特性来构造出相应的图，这对传感器网络分析是十分有必要的。凸优化方法作为最近几年比较热门的技术有着许多好的特性，如何利用基本的凸分析知识对恢复信号所需测量值数目求解以及对图模型进行分析是我们感兴趣的。本文的主要工作如下：(1)本文研究了如何将基于测量值的待估向量恢复问题转化为凸优化问题，在此问题中待估向量的恢复比又取决于测量值维数。因此，通过基本的凸分析，将求解测量值维数的问题变为求解原子集诱导的原子范数切线锥高斯宽度的问题，而求解高斯宽度的问题是利用切线锥的对偶特征。最终得出求解测量值维数依赖于求解对偶锥高斯宽度的问题。同时，文中描述了原子范数的表示问题，以及当原子范数不容易计算时给出了近似松弛的说明。最后，利用计算机仿真软件对稀疏向量和低秩矩阵的问题求解，验证了所确定测量值维数的有效性。(2)基于图模型的研究提出了两个问题：基于相同节点上复合图的分解和利用某些已知的特性去生成图。为了得到所提问题的解，利用图模型的结构特点和性质，结合凸分析知识研究了凸图不变性，并给出了各种凸图不变性和不变性凸集的例子。最后，通过对凸图不变性的分析得出了一般的凸优化构造方法，由此，可以有效的解决上述问题。