聚类分析（Clustering Analysis）是机器学习和数据挖掘领域的一个重要分支,在模式识别、图像分割、特征提取等领域中得到了广泛的应用.大数据时代的到来,使得数据的种类和维度急剧增加.如何对高维数据进行聚类操作是聚类分析的重点与难点,因而子空间聚类应运而生.子空间聚类是聚类高维数据的有效途径,是对传统聚类算法的一种扩展.子空间聚类作为高维数据聚类的一种新方法,已成为聚类分析领域的核心课题之一,并广泛应用于机器学习、计算机视觉、图像处理和系统辨识等领域.近年来,压缩感知作为一种新的信号处理理论,极大地促进了稀疏理论在数学和工程应用中的发展.压缩感知最早由E.Cand`es（Ridgelet,Curvelet创始人）和华裔科学家陶哲轩（2006年菲尔兹奖获得者）,D.Donoho（美国科学院院士）提出,被评为2007年度美国十大科技进展之一.衍生于压缩感知,低秩矩阵补全已成为机器学习、计算机视觉、信号处理、优化等领域最热的研究方向之一.压缩感知和矩阵补全理论的发展,推动了基于稀疏理论或低秩理论的子空间聚类方法的研究.本文针对子空间聚类问题,从数据来源与应用的角度出发,基于稀疏表示和低秩表示提出新的模型和算法,并成功应用于解决图像去噪、人脸聚类、无监督聚类和半监督聚类等问题.具体地,本博士论文的主要工作概况如下:1.针对复杂的数据结构,建立新的无监督子空间聚类模型.事实上,在处理数据的过程中,噪音的影响不容忽视,并且实际应用中往往面临不完整的数据来源.例如,矩阵补全问题.受压缩感知和矩阵补全理论的启发,我们基于稀疏表示和低秩表示,首先,建立新模型同时处理数据受多种噪音污染和观测不完全的问题.接着,分析该模型的特性给出最优性条件.然后,构建一个可分凸优化模型,并重点分析它与原模型的等价性.2.提出一种有效的分裂算法求解无监督子空间聚类模型,并证明算法的全局收敛性.首先,在增广拉格朗日算法基础上,设计分裂算法,并且重点研究分裂后的每一个子问题.特别地,对于简单的子问题,借助已有的范数极小化问题,求得它的显式解.对于难的子问题,由于精确求解它比较复杂,因而我们通过找到它的一个近似解,以降低求解的难度.然而,现有的理论不能保证我们提出算法的收敛性.因而需要进一步深入研究算法的特点,并证明算法的全局收敛性.最后,在图像去噪、无监督子空间学习和人脸聚类上进行实验,来验证提出的子空间聚类算法的聚类精确性和有效性.3.针对半监督子空间聚类模型,提出两个正则项,充分利用少量标签信息和样本局部几何信息.接着,基于正则项,建立新的正则化半监督子空间聚类模型.由于该模型在图（矩阵）的构建过程中充分利用了珍贵的监督信息,使得构建的图更加准确地反应数据的真实分布,能够提高半监督的聚类精度.然后,分析该模型的性质,建立最优性条件.最后,受实际应用的启发,进一步推广上述模型,建立非负半监督子空间模型.4.提出一种分裂算法求解半监督子空间聚类模型,并证明算法的全局收敛性.借助分裂思想,设计分裂算法求解本文提出的两个半监督子空间聚类模型.接着,详细分析算法的理论特性,并证明算法的全局收敛性.最后,分别在多个真实数据和模拟数据库上进行数值实验.测试本文提出的半监督模型和算法在处理人脸聚类和半监督子空间聚类问题上的有效性.