本文研究群论在图论中的应用，其对象是具有某种对称性的图类，主要方法是通过图的自同构群来研究图的对称性.本文的主要工作是分类和计数几类给定阶的点传递图和对称图.　　 第一章是引言部分，主要介绍本文用到的一些有关群和图的基本概念，主要成果和相关知识背景.　　 第二章分类了二面体群上的任意素数度1-正则Cayley图，并且在图同构的意义下，给出互不同构的精确个数.一个图称为1-正则的，如果其自同构群正则地作用在弧集合上.对于任意素数q，一个2m阶二面体群上的q度Cayley图是1-正则的当且仅当m=qtpe11pe22…pe88，其中t≤1，s≥1，ei≥1，pi是互不相同的素数满足q∣(pi-1)，且m≥13.对于给定的m，给出了这类图的构造，并证明了互不同构的个数为(q-1)s-1.进一步，证明了无平方因子阶的q度1-正则图是二面体群上的Cayley图，从而给出了无平方因子阶q度1-正则图的分类和计数.　　 第三章分类了4p阶连通3度点传递图.如果一个图的自同构群传递地作用在图的顶点集合上，那么这个图称为点传递图.设p为素数，徐明曜等在[Chin.Ann.MathB，25(2004)，545-554]中分类了4p阶连通3度对称图，本文完成了4p阶连通3度点传递图的分类.进一步，确定了4p阶互不同构的连通3度点传递图的个数f(4p)：当p=2，3，5，7时，f(4p)分别为2，4，8，6；当p≥11且4∣(p-1)时，f(4p)=5+p-3/2；当p≥11且4∣(p-1)时，f(4p)=3+p-3/2.　　 第四章研究了2pn阶5度对称图.如果图的自同构群弧传递地作用在弧集合上，那么这个图称为对称图.设p是素数，n为大于1的整数，则2pn阶5度连通对称图是下列图之一的正规覆盖：K6，K5，5，G(2p，5)，V16，Q5，C1p2，C2p2，Cp3，和Cp4.作为应用，给出了2p2阶5度对称图的完全分类.　　 第五章给出了5阶完全图K5上的弧传递循环正则覆盖图分类.证明了X是K5的连通弧传递正则Zn-覆盖当且仅当X同构于下列图之一：1-正则的CC(5n，H)(n≠2)，其中日为Z*5n的含有-1的4阶循环子群；2-传递的CC(10，Z*10)(()K5，5，5-5K2)；1-传递的AC(5k，5，w)，其中k≤2；1-正则的AC(5k，5，w)，其中k≥3且w2≡-1(modk).此外，上面四类图彼此互不同构.