新奇拓扑量子态已经成为当今凝聚态物理学中的热点问题。超冷原子气体，具有高度可操控、无缺陷等优点，已经成为许多凝聚现象的理想研究平台。随着实验上超冷原子中的有效自旋轨道耦合作用的实现，一些奇异的新量子态被相继发现，如在自旋轨道耦合玻色爱因斯坦凝聚中的条纹态和涡旋结构;Rashba配对束缚态;简并超冷费米气体中的拓扑超流态和马约拉纳费米子。一维自旋轨道耦合作用已经通过拉曼激光耦合一对精细基态能级在实验室成功实现。相较于一维自旋轨道耦合，二维或者更高维的自旋轨道耦合，具有高简并的基态和非平庸的能谱分布，如Rashba自旋轨道耦合的Rashba环和两个能级分支之间的狄拉克锥，这对于拓扑超流态的实现至关重要。因此，高维自旋轨道耦合的实现已经成为大家关注的热点。另一方面，马约拉纳费米子，不同于通常见到的狄拉克费米子，是具有它的反粒子为自己本身的特殊性质的费米粒子。这一奇异粒子不再遵循玻色或费米分布，而是满足非阿贝尔交换分布，因此相较于普通粒子，对局域微扰具有很好的抗干扰性。这也就为拓扑量子计算、量子信息储存、以及信息保密中的随机数产生器的实现提供了一个理想的平台。而超冷冷原子，具有无缺陷、纯净度高、易于调节系统参数等优点，吸引了一大批物理学家想在这一领域中找到这一令人着迷的粒子-马约拉纳费米子。当然这里提到的凝聚态物理中的马约拉纳费米子已经不再是一种基本粒子，而是在能隙中间的满足非阿贝尔交换关系的零能准粒子激发，一般称它为马约拉纳零能模。具有潜在量子计算应用的马约拉纳费米子最近已经成为凝聚态研究的热点问题。　　第一章是绪论，给出了拓扑的基本概念，以及拓扑概念在凝聚态物理领域中的引入，从而发现新的拓扑态已经成为凝聚态物理学的研究热点。基于超冷原子气体平台，探讨了自旋轨道耦合作用在超冷原子系统中的实现，试图寻找具有潜在量子计算应用的马约拉纳费米子。　　第二章，研究了双层自旋轨道耦合的费米原子气体，通过层间的光诱导跃迁以及Raman激光自旋轨道耦合的共同作用，实现了二维的自旋轨道耦合。在耦合作用增强的过程中，发现系统有一奇异的超流相变:对于弱耦合强度区间，表现为动量配对为非零的FFLO态，当系统进一步增强，原子气体会变为拓扑超流态同时实现了二维自旋轨道耦合作用。　　第三章，研究了多马约拉纳费米子在双原子链中的实现。首先给出了构建双原子链的实验方案:具有Raman激光诱导的自旋轨道耦合作用的一维费米原子双链。通过调节链间的跃迁强度，得到与传统能隙关闭条件完全不同的结果，对应于高缠绕数的拓扑非平庸态。通过自洽求解BdG方程观察在弱外势下双链系统中的多马约拉纳费米子。　　第四章，总结了自己的工作以及给出了以后工作的展望。