【摘 要】
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本文利用平面动力系统分支理论研究了修正的Camassa-Holm（mCH）方程行波解的具体参数表达式以及椭圆周期peakon解的轨道稳定性.首先,我们将mCH方程转化为一个平面系统,然后得到了该系统的首次积分和代数曲线.利用首次积分和代数曲线,我们得到了由双曲函数表示的新的peakon解.除此之外,我们还得到了由椭圆函数和三角函数表示的新的周期peakon解.对于该方程椭圆周期peakon解的轨道
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本文利用平面动力系统分支理论研究了修正的Camassa-Holm（mCH）方程行波解的具体参数表达式以及椭圆周期peakon解的轨道稳定性.首先,我们将mCH方程转化为一个平面系统,然后得到了该系统的首次积分和代数曲线.利用首次积分和代数曲线,我们得到了由双曲函数表示的新的peakon解.除此之外,我们还得到了由椭圆函数和三角函数表示的新的周期peakon解.对于该方程椭圆周期peakon解的轨道稳定性,我们主要运用椭圆函数和椭圆积分理论进行计算,利用方程的不变性和控制解的极值,证明了该方程的椭圆周期peakon解在能量空间的小扰动下是轨道稳定的.据我们所知,这是第一个关于椭圆周期peakon解轨道稳定性的结果.本文将分为五个部分,它的主要框架安排如下:第一章,我们介绍了mCH方程的研究背景、研究现状以及本文的主要研究内容.第二章,给出了非线性波方程行波解的分支理论、椭圆积分与椭圆函数等相关知识.第三章,应用动力系统分支理论讨论了mCH方程的行波解.首先将该方程转换成一个平面系统,然后,获得了这个方程的光滑周期波解、孤立波解、以及新的peakon解和周期peakon解的具体参数表达式.第四章,应用椭圆函数和椭圆积分理论对mCH方程进行计算,证明了该方程的椭圆周期peakon解是轨道稳定的.第五章,总结本文研究内容,并展望了今后有待研究的方向及课题.
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