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本文的研究内容分为四个部分：第一，研究了延迟积分微分方程的延迟依赖稳定性和θ放法的数值延迟依赖稳定性；第二，研究了延迟积分微分代数方程的Runge-Kutta方法的稳定性；第三，研究了显式和半隐式Runge-Kutta方法用于求解分段连续型延迟微分方程的稳定性；第四，研究了延迟微分代数方程的一类新θ方法的渐近稳定性。 本论文的结构安排如下： 第一章回顾了延迟微分方程的应用和四十多年来延迟微分方程解析解和数值解的稳定性理论的发展和研究历程。此外，对本论文研究内容的背景进行了介绍。 在大多数分析稳定性的文献中，往往考虑不依赖于延迟的稳定性分析。然而，依赖于延迟的稳定性分析更深刻，更适合于给出所考虑的数值方法的渐近性的完整描述。因此，第二章、第三章分别对延迟积分微分方程解析解的延迟依赖稳定性和θ方法的数值稳定性作了深入细致的研究。 第四章研究了延迟积分微分代数方程的解析解的稳定性和Runge-Kutta方法的数值稳定性。 关于分段连续型延迟微分方程的数值稳定性，已有大量的研究成果，但是关于显式和半隐式Runge-Kutta方法的数值稳定性一直没有相应的研究结果。第五章对显式和半隐式Runge-Kutta的Orderstar进行了研究，并进一步讨论了这些数值方法用于分段连续型延迟微分方程的数值稳定性。 在第六章，本文构造了一类新的θ方法用于求解延迟微分代数方程，并对其数值渐近稳定性作了研究。