量子多体体系包含大量相互作用的粒子,蕴含着丰富的新奇量子效应,是凝聚态物理研究的核心内涵。由于系统的希尔伯特空间维度随体系尺寸呈指数增长,造成量子多体系统的描述与理论研究变得极其困难。目前,量子多体理论在研究多体系统时遇到的困难已经在一定程度上影响到凝聚态物理的发展,这在当今强关联系统的研究中表现尤其明显,为凝聚态物理学家理解高温超导、量子Hall效应等物理现象的本质造成很大的阻碍。传统的多体理论研究方案,比如平均场理论、量子蒙特卡罗模拟,密度矩阵重整化群等,在取得许多重大进展的同时,却也遇到了很难逾越的瓶颈。这说明,量子多体问题的解决需要理念上的创新和方法上的拓展。新的思路或方法即使不能用来产生一种普适的解决方案,至少在某些方面或某些体系中可以突破传统方法面临的壁垒。由于量子多体问题原则上都可以化为矩阵的对角化问题,在本论文中,我们着眼于探索矩阵的普适规律。从对大量矩阵的分析入手,对解量子多体问题在两个方面进行了尝试。针对一类矩阵（随机矩阵）,一方面,我们探索了量子多体系统的本征态与矩阵元之间是否存在简单的普适关系。另一方面,我们考察了矩阵元符号的变化对其基态波函数的影响。主要的研究内容和结果概述如下:1、基态与矩阵元之间的标度关系。通过对大量非对角元不大于零的实对称随机矩阵的理论分析和计算,我们发现,基态本征矢的分量gi（即基态本征矢中每个基矢的系数）与对应行矩阵元之间存在一些普适的联系。对于对角元远小于对应行非对角元之和的随机矩阵,基态本征矢的分量与对应一行矩阵元的和Si之间呈现显著的线性关系gi=-Si。这个关系无论是对稠密矩阵或是稀疏矩阵都成立。当对角元的值域与矩阵每行之和具有相同的量级时,尽管gi与Si之间已经不是简单的线性关系,但仍然一直保持着近似幂律的正相关关系。通过同时考虑对角元、矩阵密度、矩阵维度等因素后,我们找到了一个标度函数,通过这个标度函数,对于非对角元不大于零的实对称随机矩阵,我们建立了基态本征矢与矩阵元之间的简单关系.最后,我们尝试从物理或数学上对这种基态与矩阵元之间的标度关系进行了证明或推演。对于一类特殊矩阵,我们可以严格证明gi与Si之间的正相关性是严格存在的。进一步,我们在量子多体物理的3个代表性模型:BCS模型、Hubbard模型和横场Ising模型中分别验证了基态标度关系。对于BCS模型的基态,发现gi与Si之间存在正相关性。在Hubbard模型和横场Ising模型中则验证了所有的基态标度关系。并且,根据基态标度关系计算的基态能量与严格值非常接近。基态与矩阵元之间的简单标度关系为复杂量子多体系统的计算提供了一个新的思路,也为分析量子多体体系基态性质给出了一种可能的新途径。2、基态与矩阵非对角元符号之间的关联。当把研究推广到非对角元含有正元素的矩阵时,我们发现,对于随机矩阵,当正矩阵元数量不太多的时候,基态线性标度关系仍然成立。当正矩阵元数量超过一半时,线性关系突然被破坏。对大量矩阵的分析表明,上述变化主要是由正负矩阵元的相对数量决定的,对矩阵元的具体分布不敏感。另外,我们发现随机矩阵的任意次幂矩阵每行之和与初始矩阵每行之和也存在线性标度关系。利用这一点和基态投影算符,我们对基态标度关系进行了推导。进一步,我们发现,这种基态线性标度关系的破坏过程对应于一类量子相变。基于相变理论中的有限标度拟合,我们计算了无穷大矩阵的相变点。最后,我们从随机矩阵能谱结构的角度出发,验证了用有限标度拟合得出的临界点。