图像处理的最终目标是能够有效地传递视觉信息，达到延伸人类视觉器官的功能。因此处理的结果图像不仅要能反映图像的客观性质，还要考虑人的视觉特性，而图像本身的客观性质和人的视觉特性都是非线性的，这就决定了非线性方法在图像处理中具有重要意义。近年来在图像处理领域，利用非线性方法进行图像处理取得较好效果的有中值滤波、数学形态学等，非线性方法已引起越来越多研究者的重视。作为研究非线性数值问题的首选方法—连分式方法，不仅能反映数据的渐变性，也能反映数据的突变性。鉴于这些原因，本文将连分式插值和逼近引入到数字图像处理领域，开展了图像插值、图像重建等方面的研究。本文的主要工作可归纳如下： 首先，在以图像像素为插值节点集，构造连分式插值函数过程中出现逆差商为无穷大的情况，给出了合理的解决办法，提出了重新调整插值节点集的节点顺序、构造Thiele-Newton型混合有理的插值方法。该方法可有效地应用于散乱数据图像重建、图像缩放处理中。 然后，在图像采样和图像重建理论的基础上，基于逼近理想插值核函数的思想，构造了一种自适应切触有理插值函数，对其空域和频域的性能进行了分析，并与传统的图像插值核函数进行了比较。 接着，从彩色图像三基色之间存在相关性的角度出发，提出了利用二元(向量值)混合有理插值进行彩色图像的缩放方法，该方法也可用于灰度图像处理，此时向量有理插值处理转为标量有理插值处理。 最后，从人的视觉对图像边缘和细节较敏感的角度出发，基于自适应插值思想，提出了一种新的保持轮廓清晰的有理—线性图像插值方法。在基于图像局部特征分析的基础上，将图像划分为不同的区域，对不同的区域相应地采取不同的矩形网格或三角网格上的二元(向量值)混合有理插值方法，实现图像的无级缩放。 本文的创新意义包括： 1．本文首次将(向量值)连分式方法用于数字图像处理领域。基于一元(向量)连分式形式的有理分式已应用于其它工程领域，但基于矩形网格和三角网格上的混合有理插值在数字图像处理领域目前还没看到这方面的报道。 2．本文构造了一个全新的图像插值核函数—自适应切触有理插值核函数，同现有的线性插值核函数相比，其空域特性和频域特性均最接近合肥工业大学博士论文理想插值核函数Sinc函数。该函数的表达式系数可随缩放比例系数的不同取不同的值，突破了传统不同缩放比例的图像均选用相同的插值核函数的思路。重要的是该插值核函数还可用于其它信号的采样重建处理。基于自适应插值的思想，将线性插值方法和有理插值方法相结合，解决插值图像边缘失真问题。目前的自适应插值处理的方法是先检测出边缘，进行边缘线性拟合，最后沿着边缘线进行线性插值，实现图像的缩放等处理。而本文的方法是基于用非线性方法进行边缘处理，该方法将Newton线性插值方法和连分式有理插值方法进行有机的结合，提高了图像的插值速度和效果。不仅丰富了数字图像的处理方法，而且也扩展了连分式的应用领域，同时也会推动连分式理论的发展。