偏微分方程中的调和方程和双调和方程是理论研究与工程应用领域中涉及到的最广泛的方程。调和与双调和方程边界值问题的求解一直以来是科学界和工程界面对的重点和难点。本文重点对非均匀区域中的分区调和方程与双调和方程的复变函数解法在理论分析和数值计算两方面进行了研究。主要工作分为以下几个方面：(1)基于复变函数理论,对二维非均匀区域中调和与双调和方程的混合边界值问题进行了研究。将实数范围内的调和与双调和函数写成复数域中的解析函数形式,将原问题转化为解析函数的混合边界值问题。在具体手段上,将非均匀区域中的调和函数和双调和函数展开成Laurent级数和Faber级数；采用保角变换技术,利用边界连续性条件,导出了关于解析函数的高维线性方程组；给出了关于分区调和函数和双调和函数混合边界值问题的复变函数的一般解法。进一步,将该方法应用到含任意形状夹杂无限大平面内的静电场和电致伸缩板应力场的具体问题中,得到了一些典型夹杂问题的理论解和数值解,为实际工程应用提供了参考。(2)对含小参数电致伸缩材料的力学控制方程的偏微分方程组问题求解进行了分析。分别对不计电场体积力及介电常数与应变的耦合、不计变形对介电常数的影响、全面考虑电场体积力和介电常数与形变之间的耦合三种情形下的位移和应力场进行了理论分析,进一步为研究双调和方程在电致伸缩力学问题中的应用提供了理论基础。(3)将双调和方程的复变函数方法应用到中厚板(Reissner板)弯曲问题分析中。同时,对板弯曲问题中涉及到的波动方程,根据第一类和第二类修正的Bessel函数性质,将围线内外的波动函数相应地展开成Bessel级数。最后,利用夹杂与基体的连续性边界条件和孔边力矩边界条件,导出了解析函数高维线性方程组。对含夹杂或缺陷的Reissner板进行了力学分析,丰富了双调和方程的边界问题的应用,为工程中的中厚板开孔和补强问题提供了依据。