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这篇博士论文研究了有关引力能量的几个几何问题．
如何定义引力场的能量是一个非平凡的问题．二十世纪六十年代初，物理学家Arnowitt，Deser和Misner[Phys．Rev．122，99％1006(1961)；et al．]从Hamilton力学的观点给出了ADM总能量的概念．物理学家认为，在一些适当的条件下，一个非平凡的孤立引力系统的总能量必定为正．这就是广义相对论中著名的正能量猜想．
超弦理论启发我们考虑渐近于一个平坦空间与一个Calabi-Yau流形乘积的空间．戴先哲Commun．Math．Phys．244，335-345(2004)；J．Math．Phys．46，042505(2005)]首先对这样的空间定义了总能量并给出了一个正能量定理．受戴先哲的工作以及张晓关于总角动量工作Commun．Math．Phys．206，137-155(1999)]的启发，在Calabi-Yau紧致化的条件下，作者将正能量定理推广到非对称初始数据集的情形(定理2.2)．
自然的，我们还希望把正能量定理推广到渐近AdS的时空．Chrusciel等[Adv．Theor．Math．Phys．19，697-754(2001)；Pacific J．Math．212，231-264(2003)；etal]首先研究了渐近双曲流形的总能量．张晓Commun．Math．Phys．249，529-548(2004)]与Maerten[Ann．Henri Poincaré 7，975-1011(2006)1分别独立的将正能量定理推广到第二基本形式非零的情形．本文的第三章研究了第二基本形式非零的情形下，任意宇宙学常数的渐近AdS时空中正能量定理的Lorentzian version．作者与张晓合作得到了以下几个定理．定理3.1对应于张晓的Riemannian version．定理3.3包含了Maerten的关于总质量向量Lorentzian长度的一个不等式．定理3.2给出的是当M极大这个重要情形的正能量定理．
在本文的最后一章，我们将研究引力场上波映照的Liouville型定理．胡和生等[Chinese Ann．Math．B 5，737-740(1984)；Lett．Math．Phys．14，253-262(1987)；Lett．Math．Phys．14，343-351(1987)；et al．]给出了一系列关于从平坦时空、Schwarzschild时空出发的波映照的不存在性定理．在能量有限(或者能量慢发散)的条件下，作者给出了一个从Schwarzschild-AdS时空出发到任意维数Pdemman流形的静态波映照的不存在性定理(定理4.3)．