多值逻辑与当今的一些前沿学科如模糊控制，人工智能，神经网络和计算机科学等有着密切的联系．不同的多值逻辑系统对应着不同的多值逻辑代数．早在1958年，著名逻辑学家C.C.Chang为解决Lukasiewicz多值逻辑系统的完备性而引入了MV-代数的理论，并成功地证明了Lukasiewicz多值逻辑系统的完备性．1996年，王国俊教授基于对模糊逻辑与模糊推理方面存在的问题的分析，提出一种新的形式演绎系统——L<*>系统和与之相匹配的多值逻辑代数——R<,0>-代数．随着研究的不断深入，L<*>系统的完备性以及R<,0>-代数自身的完备性都已经得到了证明，并取得了丰硕的成果，这些研究成果既促进了多值逻辑的发展，又丰富了代数学的内容，所以多值逻辑代数是本文的主要研究对象． 全文内容共分四章，第一章是预备知识，首先给出了后面要用到的格论的初步知识．在模糊逻辑当中基于连续三角模的剩余格理论是研究这些逻辑代数系统的重要工具，譬如BL-代数，MV-代数，G-代数，Goguen代数等都是基于剩余格的代数结构，其次又介绍了剩余格理论和几类逻辑代数系统及其它们所拥有的性质． 第二章论了几类多值逻辑代数系统与剩余格的关系，并且给出了它们各自的基于剩余格的简化形式．Pleter.Hajek于1998年提出了BL代数的理论，但由于BL代数定义中的条件XΛy=X (x→y)太强，仍有一些逻辑代数被排除在外，基于此，删除BL代数定义中的条件XΛy=X(x→y)，并保留分配性而引入了次BL代数的概念，次BL代数把R<,0>-代数，BR<,0>-代数，MV-代数，G代数和Goguen代数都包含在内，从而所建立的推理系统有更广泛的应用性．本文对次BL代数作了更进一步的深入研究，证明分配性可以由次BL代数定义中的其它条件推出，从而简化了次BL代数的定义．本文还给出了次BL代数的另外两种等价定义，揭示了次BL代数与其它逻辑代数之间的关系，并证明了一种强次BL代数与BR<,0>-代数是等价的，并以此为基础，得到了BR<,0>-代数和R<,0>-代数的简化定义． 第三章结合N-半单代数的性质，在N-半单代数中探讨了蕴涵代数和剩余格理论，并得到了很好的结果．在代数学中经典的环论和有限结合代数是两个重要的分支，而半单代数在有限结合代数中占有重要的位置．N-半单代数按照运算→可以构成与FI代数等价的代数系统，按照运算⊕可以构成与MV代数等价的代数系统．本文通过对N-半单代数和模糊逻辑代数的研究，尝试着在N-半单代数的中心幂等元构成的集合G(R)中引入→，⊕，Θ和┓这几种运算(其中→，⊕，Θ均为二元运算，┓为一元运算)，并且定义了一个二元关系：“≤”，这个二元关系构成G(R)上的偏序关系，进而证明了(G(R)，≤)按照相应的运算可以构成剩余格，更进一步地，证明了G(R)按照不同的运算分别可以构成与MTL代数，BL代数，G-代数，Goguen代数，BR<,0>-代数和R<,0>-代数等多值逻辑代数等价的代数结构，丰富了已有的结果．第四章通过对全序BR<,0>-代数的研究，并结合R<,0>-代数和MV-代数的完备性的证明给出了BR<,0>-代数自身弱完备性的证明．利用代数的相关知识解决逻辑问题是模糊逻辑研究的一个有效方法．R<,0>代数的完备性的证明及其相关研究就是一个很好的例证．BR<,0>代数是R<,0>代数去掉最后一条性质(a→b)v((a→b)→┓a v b)=1得到的弱R<,0>代数，这就导致了BR<,0>代数在BR<,0>单位区间上的运算的不唯一性(因为MV-代数是满足条件(a→b)→b=av b的BR<,0>代数，而R<,0>代数是满足条件(a→b)v((a→b)→┓av b)=1的BR<,0>代数)．本文尝试通过对全序BR<,0>代数的讨论并结合MV-代数和R<,0>代数的完备性证明给出了BR<,0>代数的弱完备性的证明．