【摘 要】
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密度估计是非参数统计学的重要研究方向,也是回归估计与删失估计的基础.紧支密度估计已取得了丰硕的成果,见Donoho等人的工作（D.L.Donoho,I.M.Johnstone,G.Kerkyacharian,D.Picard.Density estimation by wavelet thresholding.Ann.Statist.,1996,24（2）:508-539）.非紧支密度估计的研究相
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密度估计是非参数统计学的重要研究方向,也是回归估计与删失估计的基础.紧支密度估计已取得了丰硕的成果,见Donoho等人的工作（D.L.Donoho,I.M.Johnstone,G.Kerkyacharian,D.Picard.Density estimation by wavelet thresholding.Ann.Statist.,1996,24（2）:508-539）.非紧支密度估计的研究相对较少.受Donoho,Juditsky,Goldenshluger和Lepski等人工作的启发,本文不假定密度函数具有紧支集,利用自适应小波估计器在Besov空间Br,qs（R）中研究其Lp（1 ≤ p<∞）风险估计.基于双正交小波,Reynaud-Bouret 等人（P.Reynaud-Bouret,V.Rivoirard,C.Tuleau-Malot.Adaptive density estimation:a curse of support.J.Stat.Plann.Inference,2011,141（1）:115-139）研究了 Besov 空间Br,qs（R）中不必紧支密度函数L2风险的最优估计,并提出一公开问题:能否给出相应Lp（1 ≤ p<∞）风险的最优估计?本文首先利用经典的小波硬阈值估计器在p ≥sr+r时正面回答了这一问题;当2≤p<2sr+r时,借助Juditsky等人（A.Juditsky,S.Lambert-Lacroix.On minimax density estimation on R.Bernoulli,2004,10（2）:187-220）的双正交小波估计器给出了相应的Lp风险估计.特别地,当p=2时,我们的结果等同于Reynaud-Bouret等人的定理.其次,受 Goldenshluger&Lepski 工作（A.Goldenshluger,O.Lepski.On adaptive minimax density estimation on Rd.Probab.Theory Relat.Fields.,2014,159（3-4）:479-543）的启发,我们利用数据驱动方法构造了完全自适应的小波估计器,并给出Lp（1 ≤ p<∞）风险估计的收敛阶.遗憾的是,当p=1时,收敛阶指数退化为零,即估计器缺少相合性.这是自然的,因为Goldenshluger&Lepski早已指出:单独的光滑性假设不足以给出一致的估计器,即得不到相合性鉴于此,本文最后定义了密度函数集Fθ（M）(θ∈（0,1],M>0为常数）,它在某种意义上反映了密度函数f的衰减性,较小的θ指标对应函数具有较快的衰减性.进一步,针对这一类密度函数,我们利用经典的小波硬阈值估计器给出其L1风险估计的收敛阶.这一结果可以看作是Juditsky&Lambert-Lacroix相应工作的补充.
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