【摘 要】
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∏-凝聚环在文[Joh]和[Jon]中被称为强凝聚环。关于∏-凝聚性的最早的著名刻画是在[Ca]给出。Camillo在[Ca]中证明了下列等价：（ⅰ）R是右∏-凝聚的：（ⅱ）R是左*-环； （ⅲ）对每个n≥1，Rn的子集的右零化子是有限生成的。这种环类已被许多作者在诸如[W]，[CTHW]和[CY]等文献中研究。特别地，[CY]给出∏-凝聚环更全面的刻画。本文将对∏-凝聚环作进一步研究。
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∏-凝聚环在文[Joh]和[Jon]中被称为强凝聚环。关于∏-凝聚性的最早的著名刻画是在[Ca]给出。Camillo在[Ca]中证明了下列等价：（ⅰ）R是右∏-凝聚的：（ⅱ）R是左*-环； （ⅲ）对每个n≥1，Rn的子集的右零化子是有限生成的。这种环类已被许多作者在诸如[W]，[CTHW]和[CY]等文献中研究。特别地，[CY]给出∏-凝聚环更全面的刻画。本文将对∏-凝聚环作进一步研究。 在第二章中我们研究∏-凝聚环中的对偶性。我们通过有限生成模的自反性引进WQF-环，GIF-环和SGQF-环。并研究∏-凝聚环上Wn-模的自反性。我们也讨论SGQF-环上的同调方程A=ExtRn（X,R）的一类解的存在性。下面是我们获得的主要结果。 关于WQF-环的刻画，我们获得 定理2．1．1 令R为∏-凝聚环。则下列陈述等价： （ⅰ）R是WQF-环； （ⅱ）RR和RR均为内射余生成子； （ⅲ）R为余生成子环； （ⅳ）RRR)定义了一个Morita对偶； （ⅴ）RR和RR都是内射的且R具有双重零化子性质； （ⅵ）所有循环左R-模和循环右R-模都是自反的。 定理2．1．2 每个WQF-环都是QF-环。 由于每个QF-环都是WQF-环，定理2．1．2给出了QF-环的一种新的刻画。注意到严格包含关系｛Noethr环｝c＝位－凝聚环｝，我们的定理2．1．2严格地推广了关于QF－环的经典结果． 薛卫民在文区1］给出一个例子说明了余生成子环未必是Noether环．我们的定理2．l二说明了如果R是一个fi－凝聚的余生成子环则R必是Noether环和A巾n环． 关于GIF－环的刻画，我们有 定理二．13 令R为lM聚环．则下列陈述等价： （i）R为 GIF－环； （n）RR和 RR均为 FGT－内射模； （iii）每个投射左R－模和每个投射右R－模均为FGT－内射模； （h）每个内射左K模和每个内射右＊模均为F6T平坦模： （V）FP－id （R）sl和 y－id （R）SI． 定理 2．1．3推广了 Bass H．在p司定理 3．3的一个结果．此外我们还得到下述结果． 定理2．2．l’令R为fi－凝聚环．则下列陈述等价： （i）R是右GIF－环； （… j为 FGT内射模； （iii） 每个投射左R－模为FGT－内射模； （tV）每个内射右R－模为FGT平坦模； （V）FP－id （R）SI； （Vi）每个有限表现半自反右R－模是自反的； ＊ii）每个有限表现W‘．右R－模是半自反的； （vii）每个有限生成半自反左R模是W‘．模； （iX）每个有限生成半自反左 R－模的任意有限生成投射闭子模是直和项． 关于fi－凝聚环上W”－模的自反性，我们有 定理 2．2．3 令 R为厂－凝聚环和 FGT－id（RR）sn，（n32）．则每个有限生成半自反W””’．右R．模是自反的． 在关二－凝聚环 R上的同调方程 A—Extl （ R）的解的研究中，我们有下面的结果． 定理2．3．l 令R为左SGQF－环和右凝聚环．则关于X的同调方程A＝ExtZKR)，(15＜＜叫以有限生成半自反右K模为解当且仅当存在一个有限表现左凡模P使得A5xe厂 o－p· 推论2．3．1 令R为＊叫卜环．则关于X的同调方程A＝＆了尸(用，（15 ＜＜）以有限生成半自反右R－模为解当且仅当A—0． 在第三章中，我们引进强几乎优越扩张的概念并研究强几乎忧越扩张对n－凝聚环的影响． 我们的主要结果是 引理3．2．二 令S3R为一个强几乎优越扩张．若MS是一个右S模，则MS是半自反模当且仅当人和是半自反模． 定理3．2．1 若S3R是一个强几乎优越扩张，则S是右fi－凝聚环当且仅当R是右fi－凝聚环． 推论3．2．二 若S主R是一个优越扩张，则S是右厂－凝聚环当且仅当R是右fi－凝聚环．
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