本文研究Hamilton系统的两类问题：固定能量面上具有Lagrange边值的轨道的存在性与多重性问题和固定能量面上闭特征的多重性与稳定性问题. 固定能量面上具有Lagrange边值的Hamilton系统的轨道问题是找τ＞0和绝对连续曲线z：[0，τ]→R2n满足(HL)z(t)=JN∑(z(t)),(A)t∈[0,τ],z(0),z(τ)∈L,这里J=(0-InIn0)是R2n中标准的辛矩阵，N∑(z)是R2n中的超曲面∑上的点z处的单位外法向量，L是辛向量空间(R2n，ω0)里一个的Lagrange子空间，其中ω0=∑ni=1dxi∧dyi.问题(HL)的解(τ，z)称为∑上的L-Lagrange轨道.这个问题与刘春根教授在文[1]中研究Lagrange相交数时提出的问题有很大的关系.本文也得到了一个关于相交数的结果.事实上，固定能量面上具有Lagrange边值的Hamilton系统的轨道问题恰好是ArnoldChord猜想(见[2])的一种特殊情况.对于二阶系统的两点边值问题{(x)t+▽V(t,x)=0,x(0)=x(T)=0,其中V∈C2(R×Rn，R)，人们可以通过降阶法把它变成带L0-Lagrange边值条件的一阶Hamilton系统.这里，L0={0}(⊕)Rn是R2n中的标准Lagrange子空间. 本文的第一章研究星形能量面上具有Lagrange边值的Hamilton系统的轨道的存在性和多重性问题.首先，利用变分原理讨论了R2n中的以原点为星形中心的星形超曲面上的Lagrange边值轨道的存在性.然后，利用Z2指标理论讨论了R2n中的关于原点对称且以原点为星形中心的星形超曲面上的Lagrange边值轨道的多重性.本文证明了下面一些结论： 定理1对R2n中的每一个Lagrange子空间L，每一个C1光滑紧星形超曲面上(原点为星形中心)至少存在一个起止于L的Lagrange轨道. 定理2对R2n中的每一个Lagrange子空间L，每一个C2光滑的关于原点对称的紧星形超曲面上(原点为星形中心)有无穷多个起止于L的Lagrange轨道. 由这里的定理2我们马上可以得到一个关于相交数的结果： 推论3若∑是一个C2光滑的关于原点对称的星形超曲面(原点为星形中心)，(φ)t是∑的contactHamilton流，设L是∑与Lagrange子空间L相交得到的Legendre子流形，则L与{(φ)t(L)t＞0}的相交数是无穷多个，即＃{L∩{(φ)t(L)t＞0}}=∞. 在文[3]和[4]中，K.Mohnke和马仁义、徐向东分别用不同于我们的方法证明了类似定理1的存在性结果.[3]用的方法主要是几何(辛拓扑)的方法，[4]虽然也是用变分方法，但也与我们这里的方法不同.据我们所知，此前在这类问题上仅有上面提到的文[3]和[4]的关于存在性的结果，我们这里的定理2是这类问题的第一个关于多重性的结果.事实上，对于一般的星形超曲面，上述问题存在两个解的问题也没有被解决. 对于Hamilton系统周期解的研究可以从两个方面来考虑：一方面，对于非自治的Hamilton系统，给定周期，考虑其周期解的存在性(例如最小周期问题、渐近线性系统的情况和辛流形上Hamilton微分同胚的不动点问题)、多重性和稳定性；另一方面，对于自治的Hamilton系统，在固定的能量面上考虑周期解的存在性、多重性和稳定性，这就是通常所说的闭特征问题，即，找τ＞0和一条绝对连续曲线z：[0，τ]→R2n使得{(z)(t)=JN∑(z(t)),(A)t∈R,z(τ)=z(0). 该系统的以τ为最小正周期的周期解称为∑上的闭特征. 本文的第二章研究R2n中正定型超曲面上的闭特征的多重性与稳定性问题.这里正定型超曲面是安天庆教授在文[5]中定义的一类超曲面，它是星形超曲面更一般意义上的推广.我们先用拓扑的方法来建立起正定型超曲面上的关于Viterbo指标的等变Morse不等式，利用已经日趋完善的Maslov型指标迭代理论，通过Viterbo指标和Maslov型指标的关系来研究R2n中的正定型超曲面上的闭特征的多重性与稳定性问题.具体地说，我们证明了 定理4对每一个R2n中的C3光滑的紧正定型超曲面，或者存在无穷多个几何相异的闭特征；或者在满足n是奇数且每个闭特征的平均指标大于2，n是偶数且每个闭特征的平均指标大于1时，存在至少一个非双曲的闭特征. 定理5对每一个R2n中的C3光滑的非退化的紧正定型型超曲面，当n≥2时，几何相异的闭特征的个数不小于2.更进一步，当n=2时，或者存在无穷多个几何相异的闭特征，或者存在至少两个几何相异的椭圆闭特征. 安天庆教授在文[5]中证明了所有的星形超曲面是正定型超曲面，而正定型超曲面又一定是切触型超曲面，同时，他也构造了一个例子表明存在正定型超曲面不是星形超曲面.然后，他在文[6]中用两边夹条件给出了正定型超曲面上闭特征的多重性结果.这里，我们是在自然条件(没有两边夹条件)下利用Morse理论来考虑问题.定理4的结果在星形情况下被刘春根教授和龙以明教授在文[7]中证明了；定理5的结果在星形情况下被胡锡俊和龙以明教授在文[8]中证明了.