现实世界不可避免地受到随机或不确定因素的影响,因此与常微分方程相比,随机微分方程更能准确地、真实地刻画现实世界.近年来,大量的事实表明随机因素具有长期记忆性与不独立增量,且分数Brownian运动及其驱动的随机微分方程是描述这类现象最有效的途径之一.因此,深入研究分数Brownian运动驱动的随机微分方程具有重大的理论意义和重要的应用价值.本学位论文主要研究分数Brownian运动驱动的随机微分方程的可约化性、随机稳定性、随机分岔、统计性质和无穷维随机发展方程动力学性质等问题,具体工作如下：第一章,简述本论文的研究背景、分数Brownian运动的定义和基本性质、分数Brownian运动的驱动的随机微分方程以及随机稳定性与随机分岔的进展.第二章,研究一般分数Brownian运动驱动的随机微分方程可约化的充分必要条件.利用Wick乘积理论推导出一般的分数Ito公式,同时将其应用到一般分数Brownian运动驱动的随机微分方程,获得可约化的充分必要条件,并推导出相应的显式解的表达式.然后,将所得到的理论结果分别应用到分数Brownian运动驱动的均值回复的商品价格的单因素模型和随机人口模型,改进和推广了Ito型随机微分方程的相关结果.第三章,考虑一般分数Brownian运动驱动的随机微分方程的随机稳定性问题.类似于Ito型随机微分方程,构造合适的随机Lyapunov函数,定义一类新的导算子,获得了一般分数Brownian运动驱动的随机微分方程的随机稳定、随机渐近稳定、大范围的随机渐近稳定、p-阶矩随机指数稳定的判定定理.然后,将所得结果应用到分数Brownian运动驱动的Ornstein-Uhlenbeck过程,并分别验证上述四种随机稳定性的判定条件.第四章,考虑分数Brownian运动驱动的Black-Scholes模型的随机稳定性与随机分岔问题.结合显式解的表达式及其对应的Lyapunov指数,获得分数Brownian运动驱动的Black-Scholes模型几乎处处渐近随机稳定和p-阶随机稳定的充分必要条件,进一步得到大偏移(Large deviation)现象产生的条件.然后,分析该模型发生随机分岔的条件,这是首次在分数Brownian运动驱动的随机微分方程的框架下研究随机分岔.第五章,研究分数Brownian运动驱动的Ornstein-Uhlenbeck过程的统计性质.基于分数Brownian运动驱动的随机微分方程所对应的Fokker-Planck方程,分析了分数Brownian运动驱动的Ornstein-Uhlenbeck过程的概率密度函数的特性,得到该过程的均方位移满足幂次递减率,因此它能够刻画反常扩散现象.第六章,考虑无穷维分数Brownian运动驱动的随机发展方程.利用随机分析理论和不等式方法,严格地证明了无穷维分数Brownian运动驱动的随机发展方程变分解的存在唯一性,并且证明了该变分解能够生成一个连续的随机动力系统.