【摘 要】
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变分法是研究黎曼几何的有效手段之一,对能量函数求一阶导数和二阶导数得到曲线能量的第一和第二变分公式,我们可以把它们用于研究测地线的最短性和黎曼流形的拓扑特性.本文
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变分法是研究黎曼几何的有效手段之一,对能量函数求一阶导数和二阶导数得到曲线能量的第一和第二变分公式,我们可以把它们用于研究测地线的最短性和黎曼流形的拓扑特性.本文中,我们利用第一变分公式证明了如果M是完备黎曼流形,N(?)M是M的闭子流形,点p0∈M,p0(?)N,q0∈N,那么连接点p0和q0的极小测地线在q0处与N正交.我们利用第二变分公式证明了Bonnet-Myers定理的推广,并对Weinstein-S ynge定理和Synge定理的证明进行了适当的修改和完善,还证明了如果流形M有非正的截面曲率,那么M上的有固定端点的测地线是局部最短的.论文的主要内容如下：(1)介绍了预备知识,给出了后面会用到的相关定义、定理、引理等,如测地线和曲率的定义、Hopf-Rinow定理.(2)介绍了能量的第一和第二变分公式,其中,第二变分公式分两种情况,分别是变分是proper变分和不是proper变分的情况,并对第二变分公式进行了简化.(3)介绍了能量的第一和第二变分公式的应用,并根据已知结论证明了本文的主要结果.如利用测地线的判别条件,证明了如果M是完备黎曼流形,N(?)M是M的闭子流形,点p0∈M,p0(?)N,q0∈N,那么连接点p0和q0的极小测地线在q0处与N正交.另外,借鉴Bonnet-Myers定理证明的思想,利用第二变分公式给出了Bonnet-Myers定理的推广,并进行了证明.我们还对Weinstein-S ynge定理和Synge定理的证明进行了适当的修改和完善,最后证明了如果流形M有非正的截面曲率,那么M上的有固定端点的测地线是局部最短的.
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