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本文通过对不同直径的图的分类讨论，得出了几类图的最大亏格，进而讨论它们的上可嵌入性。介绍了问题的由来和为了能更准确地从数学上描述或更便于解决问题所必需的一些基本知识.其中包括了关于图的一般嵌入理论和最大亏格.这里对按照直径划分的图的嵌入及最大亏格的研究成果作了一个概括性的总结，也包含对已有结果的一系列新的简化.第二章中考虑图的直径和连通度，得出一类直径为2的图的最大亏格.这类问题虽然已经有所研究，在本文中添加了某些参数，借鉴其他文章考虑了图的衰变数，得到了一些结论。