多孔介质中流体流动的数学物理模型广泛应用于描述油藏开发过程中的油水的运移[4][6][40].该模型主要基于流体的质量、动量和能量的守恒律及其近似形式.工程物理上主要关心的物理量包括压力、速度、温度以及浓度、饱和度等.而模型中围绕以上物理量,遵循以上各种守恒律引入了关于地质、流体描述的许多参数、系数包括孔隙度、渗透率、相对渗透率、毛管压力和密度、黏度、压缩系数等等.由于地质的非均质性、各向异性、多尺度性导致引入的各种参数变化十分剧烈,许多物理量的都是在某种平均意义下的度量,引入的模型及近似关系都有明确的适用范围.多孔介质中流体流动的数学物理模型在数学上表现为依赖于时间的强耦合的非线性偏微分方程组.该偏微分方程组结构复杂,只有对特殊情形才能够有解析的表达式.运用计算机对该数学模型进行大规模、高精度的数值模拟成为科学与工程中的迫切需求.数值格式的设计、分析和模拟验证成为数值模拟的先行问题.由于多孔介质流模型十分复杂,质量守恒集中体现在物质的平衡,实际生产中表现为注产体积、质量的平衡.动量守恒主要使用各种速度与压力的关系式近似描述,作为经验公式引入的Darcy律[4]、各种非Darcy律.而实际中物质的平衡、压力的分布是首要关心的内容.进一步地引入各种假设对模型进行简化,降低耦合性、非线性性,比如流体不可压缩或微可压缩、不同种类流体混溶或不混溶等等.假设流体不可压缩,化简的质量守恒方程和速度压力Darcy律耦合是经典的描述模型,将速度消去,数学上该模型表现为压力的椭圆方程.假设流体微可压缩,引入微可压缩系数,化简的质量守恒方程和速度压力Darcy律耦合,将速度消去,数学上该模型则表现为压力的抛物方程.若不消去速度,直接对混合弱形式构造逼近格式,其中dual型格式及有限元的构造自八十年代以来有一系列的文章[8][13],及更早期的文献[9][10][36][37].对于primal型格式及有限元的构造可以参考[16][53].Darcy律,即压力梯度与速度呈现线性关系,描述了多孔介质中Newton流体的渗流现象Forchheimer在1901年观察到当Reynolds数比较大(大致Re>1)[27]时,压力梯度与速度之间存在非线性关系[4]. Forchhcimdr模型推导或经验公式的工作可以参考[46][54][12][2][23][31]Forchhcimer方程数学理论方面的工作可以参考[20][50][3][30].在数学分析上,Forchhcimcr方程是一类非线性单调非退化方程,类似的问题有p-Laplacian问题、拟Ncwtion问题,处理这一类单调性算子问题的技巧和方法可以参考[21][22][28][48][18][17].而数值分析的工作近几年逐渐出现,如[27][35]使用一种primal非协调混合元格式,[47]采用了一种primal协调元格式,而[39]使用了dual混合元格式处理微可压缩的情形Girault和Wheeler (2008)[27]证明了primal形式Darcy-Forchheimcr问题的存在唯一性；她们提出了基于primal弱形式的非协调混合元格式,速度采用分片常数元,压力采用Crouzcix-Ravi art元逼近；她们还提出了一种Peaceman-Rachford型的交替方向迭代算法用于求解所得到的非线性方程；她们证明了此非协调混合元格式的收敛性和迭代算法的收敛性Lopez等(2009)[35]对[27]中提出的数值格式进行了数值验证,特别是迭代算法的收敛性和非协调混合元格式的一阶收敛率；他们比较了[27]中的交替方向迭代格式与Newton迭代格式；此外他们将压力的逼近改为一阶Lagrange元,并与Crouzeix-Raviart元进行了数值对比实验Salas等(2011)[47]对[35]中提出的primal形式的混合元格式,即速度采用分片常数元且压力采用一阶Lagrange元逼近,证明了离散格式的存在唯一性,进行了误差估计；此外他们提出了两种新的混合元逼近格式,一种速度采用Crouzcix-Raviart元且压力采用一阶Lagrange元逼近,另一种速度采用一阶Lagrangc元且压力采用一阶Lagrange元逼近.以上我们考虑了流体的方程求解,进一步地考虑多种混溶的流体,引入组分和浓度的概念,考虑流动过程中的传质问题.假设流体不可压缩,基于Darcy律的不可压缩混溶驱动数值模拟的工作有[45][19].假设流体微可压缩,基于Darcy律的微可压缩混溶驱动数值模拟的工作有[34][14][32][33].本文围绕着多孔介质Darcy-Forchheimer律混溶驱动的数值格式、分析和模拟而展开.考虑了Darcy-Forchheimer模型与不可压缩质量平衡、微可压缩质量平衡耦合的问题,关键处理了单调非线性的部分,讨论了相应混合元格式的先验误差估计.在此基础上考虑了Darcy-Forchhcimer模型相应的不可压缩、微可压缩混溶驱动问题,进行了先验误差估计.数值模拟比较了不可压缩、微可压缩的Darcy律、Darcy-Forchheimer律,以及Forchheimer律在不可压缩、微可压缩混溶驱动的不同结果.本文组织结构如下：第一章,简要介绍了多孔介质混溶驱动数学模型,本文数值格式求解的方程组就是基本方程的联立,包括质量守恒定律及其在各种假设下的变形,Darcy律、非Darcy律的力学机理和误差估计中需要的数学性质.说明一些使用的符号及其代表的物理量,包括函数空间及其范数定义、空间离散剖分和离散空间的定义、时间离散.给出了使用的基本投影、初边值条件、系数的约束和正则性假设.第二章,给出了不可压缩非Darcy律dual协调混合元格式,即速度压力采用Raviart-Thomas, Brezzi-Douglas-Marini混合元逼近.将Darcy-Forchheimer律中速度项化为压力梯度的函数,得到了非线性单调非退化的压力椭圆偏微分方程,基于单调非退化方程的正则性证明了连续和离散问题的Inf-Sup条件,进而证明了存在唯一性.利用Darcy-Forchheimer算子的单调性给出了先验误差估计,其中速度L2和L3范数,压力L2范数.并且构造了解析解对误差估计的收敛阶和线性迭代格式进行了数值验证,与理论结果一致.本部分内容出自文章[38],该文章已被Journal of Scientific Comput-ing(SCI)接收.第三章,给出了微可压缩非Darcy律dual协调混合元半离散和全离散格式,速度压力仍然使用Raviart-Thomas, Brezzi-Douglas-Marini混合元逼近.使用不可压缩Darcy-Forchheimcr律的解作为投影,利用Darcy-Forchheimer算子的单调性对半离散和全离散格式给出了先验误差估计,并且构造了解析解对误差估计的收敛阶进行了数值验证,与理论结果一致.第四章,给出了不可压缩非Darcy律混溶驱动的混合元-Galerkin格式.使用了类似[45]的外插方法将速度压力方程与浓度方程解耦.利用了Darcy-Forchheimer算子的单调性得到了先验误差估计,并且构造了解析解对误差估计的收敛阶进行了数值验证,与理论结果一致.第五章,给出了微可压缩非Darcy律混溶驱动的混合元-Galcrkin格式.基于[34]中微可压缩模型,引入了不同组分相同可压缩性的假设,从而可以使用与[45]类似的外插方法将速度压力方程与浓度方程解耦.利用了Darcy-Forchhcimcr算子的单调性得到了先验误差估计,并且构造了解析解对误差估计的收敛阶进行了数值验证,与理论结果一致.