变截面杆是航空、建筑、工程以及超声加工系统中广泛应用的一种基本结构部件。在高层建筑、高塔、机翼、机轴以及超声加工系统的变幅杆的设计中都需要计算变截面杆的固有频率。因此，变截面杆纵振动问题的研究具有重要的理论意义和应用价值。本文用一种试探函数方法研究了变截面杆和粘弹性变截面杆的纵振动问题。　　首先，提出了一种用于求解二阶变系数常微分方程的试探函数方法，并用该方法研究变截面杆纵振动的控制方程，得到了指数型、圆锥型、余弦型、悬链型和一种新型变截面杆的精确解析解。指数型、圆锥型、余弦型和悬链型等常见变截面杆的纵振动问题已有较多的研究，因此本文重点研究了一种新型变截面杆的纵振动问题，求出了此新型变截面杆的频率方程。在三种边界条件下，绘制了位移振幅变化曲线，计算出了无量纲固有频率，位移节点、放大系数和形状因数等性能参量，并与常见变截面杆的各性能参量进行了比较。结果表明，新型变截面杆的放大系数有一定的提高，而且形状因数较大。　　其次，由于粘弹性材料的大量使用，研究粘弹性变截面杆的纵振动问题已成为热门问题。本文基于一种粘弹性材料的本构方程，建立了粘弹性变截面杆的纵振动控制方程。仍用试探函数方法，研究粘弹性变截面杆的控制方程，得到了指数型，圆锥型和悬链型粘弹性变截面杆的精确解析解。在三种边界条件下，求出了指数型、圆锥型和悬链型等三种粘弹性变截面杆的复频率方程，并计算出了不同无量纲延迟时间所对应的三种粘弹性变截面杆的无量纲复频率。结果表明，随着无量纲延迟时间的增大，三种粘弹性变截面杆的纵振动频率（无量纲复频率的实部）逐渐减小，而衰减系数（无量纲复频率的虚部）逐渐增大。本文结果对航空、建筑、工程以及超声加工系统中使用的变截面杆的设计具有一定的理论参考价值。