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本文研究以下非线性波动方程的初边值问题：
u11-△u—△u11=f(u)，x∈Ω，t＞0，
u｜1=0=u0(x)，u1｜1=0=u1(x)，x∈Ω，
u｜()Ω=0，x∈()Ω，t≥0．其中Ω()Rn为适当光滑的有界域，f∈C．以及在Rn空间下研究如下方程的柯西问题：
u11-△u—△u11=f(u)，x∈Rn，t＞0，
u｜1=0=u0(x)，x∈Rn．
本文主要分三个方面：
首先，介绍了位势井理论，通过对位势井的推广，引进了位势井族．
其次，利用位势井族方法证明了方程的初边值问题的整体解的存在性、不变集合和解的真空隔离以及临界初值问题．
最后，利用同样的方法研究了方程的Cauchy问题的整体解的存在性、不变集合和解的真空隔离以及临界初值问题．