【摘 要】
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分数阶微积分算子具有记忆或非局域性质,近年来在诸多领域被广泛应用,但仍面临挑战,主要原因在于:（1）数学定义方式多种,物理意义也不尽相同;（2）分数阶微分方程的计算耗时高,特别是在长时程计算问题中,计算效率低下,这也是当前分数阶导数在工程应用中面临的共性问题.针对上述问题,以短记忆分数阶方程作为研究课题,开展了如下具体工作:（1）回顾了经典Riemann–Liouvill（R–L）导数的一般定义方
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分数阶微积分算子具有记忆或非局域性质,近年来在诸多领域被广泛应用,但仍面临挑战,主要原因在于:（1）数学定义方式多种,物理意义也不尽相同;（2）分数阶微分方程的计算耗时高,特别是在长时程计算问题中,计算效率低下,这也是当前分数阶导数在工程应用中面临的共性问题.针对上述问题,以短记忆分数阶方程作为研究课题,开展了如下具体工作:（1）回顾了经典Riemann–Liouvill（R–L）导数的一般定义方式,提出了微分方程方法,结合9)重积分定义广义分数阶积分,涵盖常见的几种分数阶微积分形式,通过分数阶积分的有界性定理,并且给出了广义核函数的数学约束条件,不仅仅统一了常用的几种分数阶导数,而且发现了一些新的分数阶导数.在此定义之下,本文进一步给出了广义分数阶导数的若干性质,如依据广义分数阶导数函数空间的结构特点,提出了分数阶均值定理及高阶Taylor展开等,为下文广义分数阶微分方程求解、数值分析提供了基本性质;此外,根据经典随机游走理论,本文给出了广义分数阶导数的物理解释;（2）讨论了广义分数阶导数的函数空间,第四章采用依赖核函数的非等距分割,在此分割之下,首先根据广义分数阶微积分基本定理,将分数阶微分方程化成弱奇异的分数阶积分方程.然后论文采用矩形和梯形格式,给出了积分方程的数值格式.进而,论文给出了预估校正公式,并证明了在分数阶阶数2＜≤3时的收敛性及其收敛阶,说明了广义分数阶导数定义的合理性与数值计算的可行性;（3）提出了短记忆分数阶微分方程的概念,舍弃了初始阶段信息,强化了临近区域状态的影响,达到了降低计算耗时的目的.第五章和第六章分别给出了短记忆分数阶方程解的存在性和数值算法,基于短记忆分数阶方程的特点,论文提出了一种构造变分数阶导数方法,分数阶阶数为区间依赖的分段常数.根据经典微分方程的延拓思想,本文第五章给出了一类短记忆分数阶方程初值问题的存在性条件.第六章将短记忆分数阶方程成功应用于材料的松弛模型、神经网络和忆阻器设计,解决了分数阶导数计算耗时长、效率低的问题;（4）最后,基于时标上分数阶微积分理论,将上述结果推广至分数阶差分方程,建立了离散分数阶循环神经网络,并应用短记忆方法进行模型优化处理,提出短记忆离散循环神经网络,给出了渐近稳定性条件.
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