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在这份博士论文中,我们考虑以下三个相关问题。
1.我们考虑以下拟线性倒向抛物偏微分方程组((6)t+L)u+f(.,.,u,▽uσ)=Oon[O,T]×RduT=Φ,
此处L可以是系数可测的退化的二阶微分算子。我们在广义狄氏型框架下解这个方程组并且运用与算子L相联系的随机过程的随机分析来得到解的概率表达。概率方法依赖于对应的倒向随机微分方程。方程的解满足对应的mild方程。这个mild解等价于偏微分方程的广义解。另一个主要结果是我们利用L对应的广义狄氏型的随机分析推广了鞅表示定理。这里非线性项f关于u满足单调条件并且关于▽u满足Lipschitz条件。
2.我们考虑在Banach空间E上的拟线性倒向抛物偏微分方程组((6)t+L)u+f(.,.,u,A/2▽u)=Oon[O,T]×E,uT=Φ,
此处L可以是系数可测的退化的二阶微分算子。我们将1中的结果推广到这种情况下。
3.我们研究2维环面上的随机quasi-geostrophic方程。这里我们考虑一般参数α∈(0,1)和可乘噪声。我们证明了对α＞2/3,如果噪声是非退化的,它是唯一遍历的。这时收敛到不变分布的速度是指数式收敛的。在一般情况下我们证明了马氏选择的存在性。