【摘 要】
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作为量子力学、地球物理及众多工程技术领域中重要的数学工具和理论基础,微分算子谱理论吸引了国内外学者的浓厚兴趣并引起了他们的高度重视.迄今为止,已成为数学物理中发展最快和最活跃的研究领域之一.以Krein弦为对象的研究一直是该理论的重要课题之一.本文主要聚焦于Krein弦在离散情形下生成的Stieltjes弦和在充分光滑情形下生成一维Schr?dinger方程的生成算子的反谱问题研究.本文以Krei
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作为量子力学、地球物理及众多工程技术领域中重要的数学工具和理论基础,微分算子谱理论吸引了国内外学者的浓厚兴趣并引起了他们的高度重视.迄今为止,已成为数学物理中发展最快和最活跃的研究领域之一.以Krein弦为对象的研究一直是该理论的重要课题之一.本文主要聚焦于Krein弦在离散情形下生成的Stieltjes弦和在充分光滑情形下生成一维Schr?dinger方程的生成算子的反谱问题研究.本文以Krein-Nudelman插值理论为主要工具,分别以Krein弦质量分布函数在阶梯函数和充分光滑两种情形下生成的Stieltjes弦和一维Schr?dinger方程为主要对象,基于混合谱数据展开其反问题研究.给出相应逆问题有解的充要条件.具体地说,本文分别针对端点带阻尼、中间点带阻尼的Stieltjes弦和定义在半直线上Schr?dinger算子,给出Stieltjes弦上未知质量分布的唯一重构.证明Schr?dinger算子中势函数的唯一确定性并给出重构算法.值得注意的是,上述逆问题都可以化归为Krein-Nudelman插值问题.从而通过Krein-Nudelman插值公式及修正的Krein-Nudelman插值公式求解相应逆问题.本文主要工作包括:研究端点带阻尼Stieltjes弦的混合谱数据问题.当Stieltjes弦端点带阻尼时,其特征值均分布于上半开平面C+.通过适当变换将给定部分谱数据和弦上部分质量分布转化成与之相关的Krein-Nudelman插值问题并进行求解,建立其中某个解与Stieltjes弦之间的联系.从而唯一确定Stieltjes弦上未知质量分布,进而通过Stieltjes连分式展开进行数值重构.研究中间点带阻尼Stieltjes弦的混合谱数据问题.注意到,此时该Stieltjes弦可视为由两个Stieltjes弦构成的简单星图,并且该弦可能会产生实特征值.与端点带阻尼Stieltjes弦情形类似,将给定混合谱数据转化为相应的Krein-Nudelman插值问题.再根据实特征值与S函数之间的联系求解逆问题并唯一确定弦上的质量分布.进而针对Stieltjes弦仅有复特征值的情形,求解逆问题并提供弦上未知质量分布的重构算法.研究一类由有限多个Stieltjes弦构成星图上的谱及逆谱问题.以某一个弦外侧端点带阻尼的星图为对象展开研究.运用传统的谱理论方法和复分析方法研究谱问题.分析特征值的分布和与星图相关的S0函数的连分式展开.进而利用给定谱数据解决星图的存在性、唯一性和重构等问题.研究半直线上Schr?dinger算子的逆共振问题.当连续实值势函数具有紧支撑时,算子会产生位于下半开平面C并具有一定渐进性能的共振态.将已知混合数据转化为修正的Krein-Nudelman插值问题并应用修正的KN插值公式对其求解,得到与势函数紧密相关的S0函数.分析其零点和极点的密度分布从而唯一确定势函数,进而通过建立并求解Marchenko积分方程,给出势函数的重构算法.
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