【摘 要】
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对r-循环矩阵的研究是矩阵理论的重要组成部分,它在分子振动、线性预测、信号处理、编码理论、数理统计等领域有着广泛应用.近年来,对r-循环矩阵求逆及行列式的研究已比较成熟,但对一些特殊r-循环矩阵范数的研究成果还没有出现.为此,本文研究了关于一些组合数的r-循环矩阵的范数问题.此外,尽管国内外一些学者给出了r-循环矩阵求逆及行列式的一些算法,但随着矩阵阶数的增大,这些算法的计算复杂性都大的惊人.为克
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对r-循环矩阵的研究是矩阵理论的重要组成部分,它在分子振动、线性预测、信号处理、编码理论、数理统计等领域有着广泛应用.近年来,对r-循环矩阵求逆及行列式的研究已比较成熟,但对一些特殊r-循环矩阵范数的研究成果还没有出现.为此,本文研究了关于一些组合数的r-循环矩阵的范数问题.此外,尽管国内外一些学者给出了r-循环矩阵求逆及行列式的一些算法,但随着矩阵阶数的增大,这些算法的计算复杂性都大的惊人.为克服这一缺陷,本文借助于Fibonacci数与Lucas数的一些优美性质,得到了关于Fibonacci数与Lucas数的r-循环矩阵求逆与行列式的更好结果.本文的主要研究内容如下： 第一章首先介绍了k-Fibonacci数与k-Lucas数,以及一些特殊矩阵在范数、行列式与求逆上的研究概况,其次给出了r-循环矩阵、矩阵范数、矩阵的Kronecker积与Hadamard积的基本概念和一些基础知识,最后说明本文的主要研究内容. 第二章利用Gamma函数的性质,给出了r-循环矩阵A=Cr（Cn0,1/2Cn1,…,1/nCnn-1）与B=Cr（0,Cn1,…,（n-1）Cnn-1）的谱范数的上界与下界,其中Cnk是二项式系数,得到了矩阵A与B的Kronecker积与Hadamard积的谱范数的一些界. 第三章利用r-循环矩阵的性质,建立了r-循环矩阵A=Cr（Fk,0,Fk,1,…,Fk,n-1）与B=Cr（Lk,0,Lk,1,…,Lk,n-1）的谱范数的上界与下界,其中Fk,n,Lk,n分别是k-Fibonacci数与k-Lucas数,得到了矩阵A与召的Kronecker积与Hadamard积的谱范数的一些界. 第四章借助Fibonacci与Lucas数的性质,给出了r-循环矩阵An=Cr（F1,F2,…,Fn）与Bn=Cr（L1,L2,…,Ln）的行列式的表达公式；讨论了矩阵An与Bn可逆的条件,并在可逆的条件下,给出了An-1与Bn-1的表达公式,且这些公式仅与参数r、Fibonacci数和Lucas数有关,特别地,在r=0的情况下,还分别得到了Fibonacci矩阵Lucas矩阵的逆矩阵的表达形式.
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