本文主要研究2k+p形式的整数，k2n+1形式的整数，以及它们相关的若干问题，主要结果如下．　　 1．在1849年，de Polignac提出猜想：每一个大于3的奇数都可以表示为一个奇素数与2的方幂的和，在1934年，Romanoff证明了在正奇整数集合中能够表示为2k+p形式的整数占有正的比例，其中k为正整数，p为奇素数，另一方面，在1950年，van der Corput证明了在正奇整数集合中不能够表示为2k+p形式的整数也占有正的比例，其中k为正整数，p为奇素数．Erdos引进了同余覆盖系的概念，并且运用同余覆盖系方法证明了：存在一个正奇数组成的无穷算术级数，其中每一项都不能表示为2k+p形式，其中k为正整数，p为奇素数．在2004年，Chen和Sun证明了在正整数集合中能够表示为2k+p形式的整数占有的比例大于0.0868，其中k为正整数，p为奇素数，最近0.0868已经被Lü改进为0.09322，被Habsieger和Roblot改进为0.0933，被Pintz改进为0.09368.　　 在本文中，我们考虑了下面的问题，　　 问题1．如何确定所有的由正奇数组成的无穷算术级数，其中有正的比例可以表示为2k+p形式？　　 问题2．如果一个正奇数组成的无穷算术级数中能够表示为2k+p形式的整数密度为0，那么这个算术级数是否一定可以通过2k+p由一个同余覆盖系产生？　　 在本文中，我们解决了问题1和问题2．证明了如下几个结果：　　 对于给定的一个整数集合A，设B是A中所有的能够表示为2k+p形式的整数的集合，我们称B为A的Polignac-Romanoff-Corput-Erdos子集，并且记B=PRCE(A). PRCE(A)的上渐近密度和下渐近密度分别被称为A的上PRCE渐近密度和下PRCE渐近密度，给定正整数m．设m=2rm，2|m，并且e(m)是2(modm)的阶数，即e(m)是使得2l=1(mod m)成立的最小的正整数l．　　 定理，设m，u是整数，并且2|u和m>0，2|m.　　 （a)如果存在整数l满足1≤l≤e(m)和(u-2l,m)=1，那么算术级数{u+mk}<∞><,k=1>的下PRCE渐近密度至少为0.0851/(e(m)φ(m))；　　 （b)如果不存在整数l满足1≤l≤e(m)和(u-2l,m)=1，那么算术级数{u+mk}<∞><,k=1>的PRCE密度为0．　　 推论1．一个正奇数组成的无穷算术级数的下PRCE密度为0当且仅当这个算术级数能够通过2k+p由一个同余覆盖系产生，　　 推论2．如果一个正奇数组成的无穷算术级数{u+mk}<∞><,k=1>的上PRCE密度不为0，那么算术级数{u+mk}<∞><,k=1>的下PRCE渐近密度至少为0.0851/(e(m)φ(m)).　　 2．最近，Yong-Gao Chen[On integers of the forms k±2n and k2n±1，J．Number Theory，125(2007)14-25.]提出了下面的两个猜想：(1)能够表为2n-p形式的正整数在正奇整数的全体中有正的下渐近密度，其中n为正整数，p为奇素数；(2)能够表为p-2n形式的正整数在正奇整数集合中有正的下渐近密度，其中n为正整数，p为奇素数.　　 在本文中，我们证明了这两个猜想正确，证明了以下几个结论：　　 定理1．能够表为2n-p形式的正整数在正整数的全体中占有的比例大于0.0283，其中n为正整数，p为奇素数，　　 定理2．能够表为p-2n形式的正整数在正整数的全体中占有的比例大于0.0283，其中n为正整数，p为奇素数，　　 定理3．设x充分大，则在不超过x的正整数的全体中恰有一种方法被表为2n-p形式的正整数占有的比例大于9.63·10-4，其中p为奇素数，且正整数n适合1.4427logx≤n≤1.4437logx．　　 定理4．设x充分大，则在不超过x的正整数的全体中恰有一种方法被表为p-2n形式的正整数占有的比例大于9.63·10-4，其中p为奇素数，且正整数n适合1.4427logx≤n≤1.4437logx．　　 3．在1960年，Sierpinski证明了存在无穷多个正奇数k，使得k2n+1对于所有的正整数n都是合数，在1979年，Erdos和Odlyzko证明了存在正整数n，使得k2n+1为素数的正奇数k在正整数集合中有正的下渐近密度．Erdos和Odlyzko也提出了下面的问题：所有不能表示为(p-1)2-n形式的正奇整数k，是否一定可以通过k2n+1由一个同余覆盖系产生？　　 在本文中，对于算术级数的情况，我们给出了肯定的答案，我们考虑了下面的问题，　　 问题1．如何确定所有的由正奇数组成的无穷算术级数，其中有正的比例可以表示为(p-1)2-n形式？　　 问题2．如果一个正奇数组成的无穷算术级数中能够表示为(p-1)2-n形式的整数密度为0，那么这个算术级数是否一定可以通过k2n+1由一个同余覆盖系产生？　　 在本文中，我们完全解决了上面的两个问题，我们得到了下面的主要结论.　　 给定一个正整数m．设m=2rm，2|m．用e(m)表示2(mod m)的阶数，即e(m)是使得2l≡1(mod m)成立的最小的正整数l．　　 定理，设m，S是正整数，2|s，2|m　　 （a)如果存在整数n0满足1≤n0≤e(m)和(2n0s+1，m)=1，那么在算术级数{s+mk}<∞><,k=1>中能够表示为(p-1)2-n的整数有正的下渐近密度．　　 （b)如果不存在整数n0满足1≤n0≤e(m)和(2n0s+1，m)=1，那么在算术级数{s+mk}<∞><,k=1>中能够表示为(p-1)2-n的整数的密度为0．　　 推论，一个正奇数组成的无穷算术级数能够通过k2n+1由一个同余覆盖系产生当且仅当这个算术级数中能够表示为(p-1)2-n的正整数占有的比例是0．