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令g为C上的半单李代数，U+(g)为g的泛包络代数的正半部分.Lusztig用预投射代数幂零表示上的可构函数构造了U+(g)的一组特殊的基底，称为半典范基.它和量子群的典范基具有很多相似的性质.U+(g)还可以用箭图的表示通过Hall代数来实现.Ringel用箭图的表示构造了U+(g)的PBW基.很自然的，我们要问这两种不同的基之间有什么样的关系.在第一章中，我们细化Lusztig关于半典范基的构造，证明了U+(s(l)n(C))的半典范基和PBW-基之间的一个表达公式.作为推论，这两组基之间的过渡矩阵在适当的排序下可以实现为上三角矩阵并且对角线元素为1.下面的定理是第一章的主要结论: 定理0.1.令g=s(l)n+1(C)而U+为g的泛包络代数的正半部分.我们选取An型Dynkin图的一致线性方向.假设{fM}为U+V的半典范基，{PM}为U+V对应于我们选取方向的PBW基.则fM=∑M≤degNaNPN并且aM=1. 令Q为连通的Dynkin型箭图.Λ=ΛQ为Q对应的代数闭域k上的预投射代数.令(T)A为极大刚性Λ-模的突变图.固定一个基本极大刚性Λ-模T，用(T)ndΛ T表示自同态代数EndΛ T的倾斜图.在第二章中，我们证明当Λ为有限表示型时，(T)A同构于TEndΛT.作为推论，我们找到许多代数具有相同的倾斜图.Λ为非平凡的有限表示型的预投射代数当且仅当Q为A2，A3和A4型.尽管只有三种这样的预投射代数，但它们的极大刚性模的自同态代数却很不一样.它们中的一些为强拟遗传代数而另外的绝大多数甚至不是拟遗传代数.下面的定理是第二章的主要结论: 定理0.2.令Λ为An型的预投射代数且n≤4.令T为极大刚性Λ-模，则函子FT=HomΛ(-，T)诱导图同构ψT:(T)Λ→(T)EndΛT. 模形式理论是现代数论研究的中心问题。它和数学的很多重要的领域有着密切的联系。在过去的几十年中，同余子群的模形式理论得到长足的发展，但是非同余子群的模形式理论却依然很不完善.在我们用Borcherds product研究关于Weber函数的Yui-Zagier猜想的过程中，杨同海教授和我发现了两类新的非同余子群.这两类非同余子群的定义和著名的Fermat群的定义非常相似.在第三章中，我们给出这两类非同余子群的定义并证明它们的模曲线要么是射影线要么就是超椭圆曲线.我们同时给出这些模曲线的仿射方程和它们的亏值公式.最后，受Rorhlich[Roh77]和TongMi Yang[Yan96]的启发，我们给出这些模曲线上的模形式的线性空间的结构和模曲线的尖点除子类群的结构.令Γ0(2)={（a b c d）∈SL2(Z):c≡0 mod2}，T=(1101)， S=（0-101）， B=ST2S-1=（10-22）.我们定义Φ0(N)为由交换子Γ0(2)，TN和BN生成的Γ0(2)的子群.定义Φ0s(N)为Φ0(N)和TBs+1生成的Γ0(2)的子群.我们用M1和S1表示权为1的模形式和尖形式空间，用CL表示尖点除子类群（定义见第三章）.第三章的主要结论如下: 定理0.3.Φ0(N)为同余子群当且仅当N|24. 定理0.4.假设N|4s.则Φ0s(N)为同余子群当且仅当N|24. 定理0.5.当N为奇数时，XΦ0(N)的亏值为0;当N为偶数时，XΦ0(N)的亏值为N/2-1. 定理0.6.我们有: 1.模曲线XΦ00(N)的亏值为0. 2.当N≡a(mod4)时，XΦ0N/2(N)的亏值为N-a/4，其中a=0，2. 3.当N≡a(mod8)时，XΦ0±N/4(N)的亏值为N-a/8，其中a=0,4. 定理0.7.当N为奇数时，XΦ0(N)的函数域为C（ω21/N）;当N为偶数时，XΦ0(N)的函数域为C（λ，ω1/N2）.特别地，当N为奇数时，XΦ0(N)同构于射影线P1，当N为偶数时，XΦ0(N)为超椭圆曲线其仿射方程为XΦ0(N):y2-y=16xN.其中λ和ω2为两个特殊的模函数(定义见第三章）. 定理0.8.假设N|4s.则XΦ0s(N)的函数域如下:C(Φ0s(N))={ C（ω21/N）如果N|s，C（ω22/N，（1-2λω21/N）如果N|2s，N(|) s，C(ω24/N，(1-2λ)ω22/N）如果N|4s，N(|)2s.并且，XΦ00(N)同构于射影线P1，而XΦ0N/2(N)同构于曲线y2=x+64xN/2+1，而XΦ0±N/4(N)同构于曲线y2=x+64xN/4+1 定理0.9.当4|N时，我们有M1(Φ0(N))=Cθ((τ))+Cθ((τ)+1)， S1(Φ0(N))=0，和M1(Φ0±N/4(N))={0如果N/4为偶数，C（θ（(τ)）+θ（(τ)+1））如果N/4为奇数，S1(Φ0±N/4(N))=0.其中θ（(τ)）=（∑n∈Zqn2/2）2为Γ(2)/±1的权为1的模形式. 定理0.10.我们有CL(Φ0(N))={0如果N为奇数，（Z/N/2Z)2如果N为偶数. 定理0.11.我们有CL(Φ0s(N))={0如果N|s，Z/2Z如果N|2s，N(|) s，且N≡0 mod4，Z/4Z如果N|4s，N(|)2s且N≡0 mod8，Z/2Z×Z/NZ如果N|2s，N(|) s，且N≡2 mod4，Z/4Z×Z/NZ如果N|4s，N(|)2s且N≡4 mod8.