电阻距离是定义在图中的一个距离度量,也是图中的一个重要不变量,且电阻距离的概念被广泛应用于计算机科学、物理、化学以及生物工程等领域。设联通图G(V,E)的顶点集和边集分别为V和E。将图G中的每条边用一个有效电阻来代替,此处的有效电阻均为单位电阻,构造出相应的电网络N,电网络N中任意两点之间的有效电阻就表示图G中相应节点之间的电阻距离。图G中所有顶点之间的电阻距离之和为图G的Kirchhoff指数。图的矩阵与图的电阻距离有着密切联系,根据图的拉普拉斯矩阵的变换可得到图的电阻距离矩阵。本文研究的几类图分别是:图G的Q-图Q(G)、轮扩展图n3W t C、网格扩展图EX(m,n)、点-点剖分联图1 2G(9)G、边-边剖分联图1G2G、点-边剖分联图1G2G。使用图的拉普拉斯矩阵、拉普拉斯矩阵的广义逆或拉普拉斯矩阵的群逆给出并证明了这些图的电阻距离和Kirchhoff指数的计算公式。提出了一种计算机编程的方式快速计算电阻距离的新方法,得到了轮扩展图和网格扩展图的电阻距离的具体数值。本文主要成果如下:(1)给出了图G的Q-图的电阻距离计算公式,应用此公式计算了完全图的Q-图、完全二部图的Q-图和圈图的Q-图的电阻距离;(2)给出了点-点剖分联图1 2G(9)G、边-边剖分联图1G2G和点-边剖分联图1G2G的电阻距离及Kirchhoff指数的计算公式;(3)给出了轮扩展图n3W t C的电阻距离和Kirchhoff指数的计算公式;(4)应用计算机编程的方式得到轮扩展图n3W t C的电阻距离和Kirchhoff指数的具体数值,以及网格扩展图EX(m,n)的电阻距离的具体数值;(5)提出一种基于电阻距离的社团划分算法,将此算法应用到人工网络、三社团网络和空手道俱乐部网络中,验证了该算法的有效性。